《统计学习方法》第 2 章“感知机”学习笔记

感知机是《统计学习方法》的介绍的第 1 个算法，是神经网络与 SVM 的基础。

研究思路

1、模型：二分类问题，数据点分为“$+1$”类和“$-1$”类，“超平面”为所求；

2、策略：损失函数最小化，确定参数 $w$ 和 $b$；

3、算法：随机梯度下降法。

策略：随机梯度下降

用普通的基于所有样本的梯度和的均值的批量梯度下降法（BGD）是行不通的，原因在于我们的损失函数里面有限定，只有误分类的 M 集合里面的样本才能参与损失函数的优化。所以我们不能用最普通的批量梯度下降,只能采用随机梯度下降（SGD）或者小批量梯度下降（MBGD）。

感知机学习的对偶形式

将 $w$ 和 $b$ 表示成实例 $x_i$ 和 $y_i$ 的线性组合。

1、$w_0=0$ ，$b_0=0$，则 $w$ 和 $b$ 就可以表示成 $x_i$ 和 $y_i$ 的线性组合；

2、实现技巧：向量化代替 for 循环。

对于损失函数的理解

感知机学习固定分母为 $1$。我们研究可以发现，分子和分母都含有 $w$，当分子的 $w$ 扩大 $N$ 倍时，分母的 $L_2$ 范数也会扩大 $N$ 倍。也就是说，分子和分母有固定的倍数关系。那么我们可以固定分子或者分母为 $1$，然后求另一个即分子自己或者分母的倒数的最小化作为损失函数，这样可以简化我们的损失函数。在感知机模型中，我们采用的是保留分子，即最终感知机模型的损失函数简化为：
$$J(\theta )=-\sum _{x_i\in M}{y}^{(i)}\theta \cdot x^{(i)}$$
我的理解：反正最终都会收敛，所以损失函数收敛的时候一定为 $0$，因此分母是多少都无所谓，这就是书上说的“不考虑 $\frac{1}{||w||}$”。

手写笔记

编码实现

代码还可以在 这里 查看。

Python 代码：

import numpy as np


class Perceptron:
    """
    感知机分类器：假设数据集是线性可分的
    """

    def __init__(self, eta=0.01, n_iter=10):
        """

        :param eta: 学习率，between 0.0 and 1.0，float
        :param n_iter: 最大迭代次数，int
        """
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter

    def fit(self, X, y):
        # 同李航《统计学习方法》P29
        # "1" 表示偏置，即如果变量有 2 个，学习的权重就会有 3 个
        # 感知机就是学习这一组参数向量
        # 这里 y 只有两个取值，1 或者 -1
        # target - self.predict(xi)，predict 函数返回 1 或者 -1
        # 如果相同，则上式 = 0，即分类正确的点对权重更新没有帮助
        self.w_ = np.zeros(1 + X.shape[1])

        # print(self.w_)
        self.errors_ = []

        for _ in range(self.n_iter):
            # print('迭代次数', _)
            # 表示这一轮分错的数据的个数
            errors = 0
            # 把所有的数据都看一遍
            for xi, target in zip(X, y):
                # 【注意】这个处理就包括了 target 和 self.predict 相等的情况，
                # 如果相等，下面两行 self.w_[1:] 和 self.w_[0] 都不会更新
                # 如果不等，相当于朝着父梯度方向走了一点点
                # 随机梯度下降法，每次只使用一个数据更新权重

                # print('实际',target,'预测',self.predict(xi))
                if target == self.predict(xi):
                    continue
                update = self.eta * target
                # w
                self.w_[1:] += update * xi
                # b
                self.w_[0] += update

                errors += int(update != 0.0)
            # 如果这一轮分类都正确，则感知机学习可以停止了
            if errors == 0:
                break
            self.errors_.append(errors)
        return self

    def net_input(self, X):
        """
        计算输出
        :param X:
        :return:
        """
        # X 是 m * n 型
        # self.w_[1:] 是 n * 1 型，可以 dot
        # + self.w_[0] 发生了广播
        return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

    def predict(self, X):
        """
        预测类别变量，只返回 1 或者 -1
        :param X:
        :return:
        """
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0, 1, -1)

示例

例1：鸢尾花数据集可视化

例2：感知机算法的 Python 实现

参考资料

[1] 李航. 统计学习方法（第 2 版）第 2 章“感知机”. 北京：清华大学出版社，2019.

[2] 刘建平. 感知机原理小结、梯度下降（Gradient Descent）小结.

[3] 码农场. 感知机的学习.

[4] 知乎网友. 如何理解感知机学习算法的对偶形式？.

说明：对偶形式把累加变成了乘法运算，并且引入了 Gram 矩阵。

[5] Sebastian Raschka. Python 机器学习 第 2 章. 北京：机械工业出版社，2019.

（本节完）