100个python算法超详细讲解：百钱百鸡

1．问题描述
中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了一个著名的“百钱
百鸡问题”：一只公鸡值五钱，一只母鸡值三钱，三只小鸡值一钱，现
在要用百钱买百鸡，请问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？
2．问题分析
用百钱如果只买公鸡，最多可以买20只，但题目要求买100只，由
此可知，所买公鸡的数量肯定在0～20之间。同理，母鸡的数量在0～
33之间。在此不妨把公鸡、母鸡和小鸡的数量分别设为cock、hen、
chicken，则cock+hen+chicken=100，因此百钱买百鸡问题就转化成解
不定方程组的问题了。

 3．算法设计
对于不定方程组，我们可以利用穷举循环的方法来解决，也就是
通过对未知数可变范围的穷举，验证方程在什么情况下成立，从而得
到相应的解。因公鸡的取值范围是0～20，可用循环语句“for cock in
range(0,21);”实现。钱的数量是固定的，要买的鸡的数量也是固定的，
所以母鸡数量是受到公鸡数量限制的。同理，小鸡数量受到公鸡和母
鸡数量的限制，因此我们可以利用三层循环的嵌套来解决，第一层循
环控制公鸡的数量，第二层控制母鸡的数量，最内层控制小鸡的数
量。

4．知识点补充
结构化程序设计包括三种基本结构：顺序结构、选择结构（分支
结构）和循环结构（重复结构），利用这三种基本结构可以解决很多
复杂问题。
·顺序结构：一种简单的程序设计，按照程序中语句的顺序依次执
行，每条语句都能被执行且只执行一次。
·选择结构：包括简单选择和多分支选择结构，可根据条件，判断
应该选择哪一条分支来执行相应的语句序列。简单选择结构采用简单
或一般的if语句即可解决，对于复杂的选择结构可以使用嵌套的if…
elif…else语句实现。
·循环结构：可根据给定条件，判断是否需要重复执行某一相同程
序段。
下面介绍Python语言的循环结构。
（1）while循环
while循环语法格式如下：

while 判断条件:
执行语句

其中，判断条件可以是任何表达式，所有非空、非零的值都为
True，当判断条件为False时，循环结束；执行语句可以是单条语句，
也可以是一个语句块。
（2）for循环
for循环语法格式如下：

for iterating_var in sequence:
statements(s)，

其中，sequence是任意序列，如列表（数组）、字典或元组等，
也可以通过range()函数产生一个整数列表，以完成计数循环；
iterating_var是序列中需要遍历的元素；statements是待执行的语句块。
range()函数使用格式如下：

range([start , ] stop[ , step])

其中，start为可选参数，表示起始数；stop为终止数，如果range()
函数只有一个参数n，则将产生一个0～(n-1)的整数列表，也就是循环
n-1次；step为可选参数，表示循环步长，不写时，默认步长为1。
需要注意的是，while循环结构首先对while条件进行判断，当条件
为True时，执行条件语句块；当执行完语句块时，再次判断while条件
是否为True，若仍然为True，则继续执行语句块，直到条件为False时
结束循环。
while循环结构的流程图如图1.6所示。

（3）for循环结构
for循环结构首先对for语句的条件判断，游标（序列都会有一个游
标，游标一般从第0个位置开始）指向序列的第0个位置，也就是序列
的第一个元素，判断序列sequence中是否有元素。如果有，就将这个
元素赋值给iterating_var，然后执行循环体语句块，执行完成后，游标
下移一位，再次判断该位置是否有元素；如果有，继续将该元素赋值
给iterating_var，继续执行循环语句块；游标再往下移一位，一直循环
下去，直到下一个位置没有元素时结束循环。
for循环结构的流程图如图1.7所示。

 

 

在循环语句中，循环体可以是由一个或多个语句构成的，当其中
某个语句是循环语句时，即一个循环体中完整地包含了另外一个循
环，就形成了循环嵌套结构，我们称之为多重循环，并且把这个循环
语句称为外层循环语句，而把循环体中的循环语句称为内层循环语
句。在理解多重循环语句时，只要把内层循环语句看作是外层循环语
句的循环体的一部分就可以了。在程序执行时，外层循环语句与内层
循环语句的关系，有点像钟表的时针与分针的关系，分针走了60格，
时针才走1格。对于多重循环来说，只有内层循环语句执行到判断条件
为假时，才返回到其上层循环语句继续执行。

5．确定程序框架
在设计循环时首先要考虑循环的三要素，即循环变量的初值、循
环的控制条件和使循环趋于结束的循环变量值的改变。
针对本题来说，每层循环的初值是0（即买的100只鸡中，可能没
有公鸡，也可能没有母鸡或小鸡）；循环的控制条件是公鸡、母鸡和
小鸡用百钱最多能够买到的数量［根据上面分析可知：公鸡最多20
只，母鸡最多33只，小鸡最多100只（虽然百钱最多可以买到300只小
鸡，但题目要求只买100只）］；穷举循环的特点就是把所有情况都考
虑到，因此每层循环执行一次，对应循环变量的值就要加1。
程序流程图如图1.8所示。

 

 根据流程图，构建程序框架如下：

cock = 0
while cock <= 20:
# 内层循环控制母鸡数量取值范围为0～33
hen = 0
while hen <= 33:
#内层循环控制小鸡数量取值范围为0～100
chicken = 0
while chicken <= 100:
#条件控制
print("cock=%2d,hen=%2d,chicken=%2d\n" %(cock,hen,chicken))
chicken += 1
hen += 1
cock += 1

6．确定公鸡、母鸡和小鸡数量
根据这三层循环我们可以得到很多种方案，在这些方案中有些是
不符合cock+hen+chicken=100并且5×cock+3×hen+chicken/3=100这两个
条件的。因此结果输出之前我们要把合理的方案筛选出来，即如果结
果满足cock+hen+chicken=100和5×cock+3×hen+chicken/3=100，则输
出。很明显，控制条件即为语句
if(5×cock+3×hen+chicken/3.0==100)and(cock+hen+chicken==100)。
注意： 在Python语言中，使用and关键字表示“逻辑与”；使用or关
键字表示“逻辑或”；使用not关键字表示“逻辑非”。另外，运算符“/”表
示除，x除以y，结果为带小数点的浮点数；而运算符“//”表示取整除，
返回商的整数部分。
7．完整的程序
根据上面的分析，编写程序如下：

#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 百钱百鸡问题
if __name__=="__main__":
# cock表示公鸡数量，hen表示母鸡数量，chicken表示小鸡数量，总共100只
# 外层循环控制公鸡数量取值范围为0～20
cock = 0
while cock <= 20:
内层循环控制母鸡数量取值范围为
# 内层循环控制母鸡数量取值范围为0～33
hen = 0
while hen <= 33:
#内层循环控制小鸡数量取值范围为0～100
chicken = 0
while chicken <= 100:
# 条件控制
if (5 * cock + 3 * hen + chicken / 3.0 ==100) and (cock + hen
+ chicken ==100):
print("cock=%2d,hen=%2d,chicken=%2d\n" %(cock,hen,chicken))
chicken += 1
hen += 1
cock += 1