【数学建模入门】层次分析法

层次分析法

适用场景

主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现最好）

基本知识

例题：假如有三个地方分别是苏杭、北戴河、桂林，我们现在要运用层次分析法选出那个地方最值得去？

这时候就需要知道评判标准和指标

指标

其中指标可以通过在网上查找（百度，大众点评，知网等）得知，就此题而言，指标可以是景色、花费、居住、饮食、交通。

根据指标就可以得出下图：

标准

具体标准可以按如图表示

这些标准在不同问题中代表的含义不同，就本题而言，此中代表满意度

指标权重

指标权重就该指标在此评判系统中的重要程度

那怎么计算呢？请看下一小段----判断矩阵

判断矩阵

为了减小人为主观因素对决策的影响，我们将运用判断矩阵，又叫做正互反矩阵（虽然还是存在主观因素^_）

我们根据上面介绍的评判标准，

以第一行为例，其中[1,1]的位置表示，景色对于景色谁更重要，这肯定是一样重要的^-；那看[1,2]位置，景色对于花费来说重要程度是多少，这里是1/2，那对应的[2,1]位置就是它的倒数2。依照这个方法可以填完这个判断矩阵（这个判断矩阵的数值一般是根据网上查到的资料填写的，当然了也可以自己得到，但得到模型可能不太准确，但只要后面的一致性检验能过也行。）

一致性矩阵

首先我来说非一致性矩阵

看如下图：

假如我们设：苏杭=A 北戴河=B 桂林=C

那么我们可以看到从[1,3]可以看到A=C

从[1,2]我们可以看出A>B 从[2,3]我们可以看到B>C

由此我们可以看到A,B,C之间存在矛盾，此时就称它不一致

由此我们可以推出一个一致性矩阵最重要的性质是：
$$A[i,j]=A[i,k]\ast A[k,j]$$
根据这个性质我们又可以推出：各行（各列）之间成比例。

如下就是一个一致性矩阵：

注意：一致性矩阵的前提是判断矩阵（正互反矩阵）

一致性检验

背景知识

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

下面为一致性矩阵的条件

根据线性代数知识易得：该n阶方阵A的秩R(A)=1，则便可知：

​ 一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0；

重要引理：n阶正互反矩阵A为一致性矩阵时，它的最大特征值
$$\lambda (max)=n$$
当正互反矩阵A非一致时，一定满足：
$$\lambda (max)>n$$

步骤

第一步：计算一致性指标CI

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

这个不用我们计算，一般是查表得出：

第三步：计算一致性比例CR

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对 判断矩阵进行修正。

计算权重的方法

那我们怎样根据判断矩阵得出权重呢？一共一下三种方法

接下来都将以此判断矩阵进行计算。

算术平均法

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我们用第一行数据计算出来的权重

苏杭=1/(1+0.5+0.2)=0.5882

北戴河=0.5/(1+0.5+0.2)=0.2941

桂林=0.2/(1+0.5+0.2)=0.1177

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利用第二列的数据可以得出

苏杭=2/(2+1+0.5)=0.5714

北戴河=1/(2+1+0.5)=0.2857

桂林=0.5(2+1+0.5)=0.1429

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利用第三列的数据可以得出

苏杭=5/(5+2+1)=0.625

北戴河=2/(5+2+1)=0.25

桂林=1/(5+2+1)=0.125

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最后我们取算数平均得

苏杭=（0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949

北戴河=（0.2941+0.2857+0.25）/3=0.2766

桂林=(0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

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将上述步骤公式化就是

w代表权值

几何平均法

几何平均法的计算公式如下：

根据公式可得

苏杭=0.5954 北戴河=0.2764 桂林=0.1283

特征值求权重法

前提条件是，判断矩阵的一致性比例CR<0.1，我们才能使用特征值法

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

我们可以利用matlab中的eig()函数来直接求得特征向量V，特征值列向量D

然后再在D中筛选出最大的特征值，并找到对应的特征向量。

最大特征值：3.0055 对应的特征向量为：[-0.8902,-0.4132,-0.1918]

第二步：一致性检验

由公式得：CR=0.0053<0.1,所以该一致性可以接受

第三步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

得：
苏杭=0.5954

北戴河=0.2764

桂林=0.1283

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汇总：