计算机应用 建模,计算机应用与数学建模.ppt
第一节数学模型与建模
、数学建模过程
所谓数学建模是指:针对实际问题根据研究的内容,用数学的方法建
立描述现象规律的过程。特别要指出的是:这里所说的“数学”是指广
义的数学,也就是说它除去通常所说的经典的数学之外还包括统计学、
运筹学以及计算机的使用等。
数学模型涉及的范围相当宽,无论在实际问题方面还是在数学的
领域一尽管这些问题之间无论在内容还是方法上干差万别,它们之间有
点是共同的(建模的实质),那就是它们都是针对一个实际问题,通
过辨识问题中变量之间的关系而把实际问题转化为由数学语言描述的
形式。与数学分析方法的使用相比,这个过程是建模工作的一个明显
特征。在这个过程中对每个模型的处理在方式上有一个非常相似之处,
就是通过一个程序化的过程来组建数学模型。这是数学建模工作中的
种有效的处理问题的方式。每当我们面对新的实际问题需要用数学
的手段来处理时,这一程序化的处理方式将为我们提供一条有效地组
建数学模型的途径。
数学建模的过程一般包含有若干个有着明显区别的处理阶段。
们可以如下的流程图(图4,1)来表示。经验告诉我们,这个流程为我
们提供了一个思考问题的框架,它不仅能够帮助我们成功地组建有关问
题的数学模,而且,当你面对一个实际的问题感到困惑而无法入手建模
它将给你提供条思考的途径
流程图中的每一个方框表示建模过程的一个阶段。下面我们将对
每个阶段作一个简要的说明。
1.对于所面临的实际问题,首先需要明确研究的对象和研究的目的
问题所依据的事实和数据资料的来源是什么,它们是否真实、以及与问
题有关的背景知识。在这一步中,需要明确我们所研究问题的类型:是
确定型的还是随机的,是需要建模还是需要模拟
2.辨识并列出与问题有关的因素,通过假设把所研究的问题进行简
化,明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用。以变量和常
数的形式表示这些因素。通常在建模之初总是把问题尽量简化。
在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度。然后通过不断地调塾
假设使模型尽可能地接近实际。
3.运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系
通常它可以用数学表达式来描述,如:比例关系、线性或非线性关系、经验
关系、输入输出原理、平衡原理、牛顿运动定律、微分或差分方程、矩阵、
概率、统计分布等。从而得到所研究问题的数学模型
4.使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的各参数给出
估计值。
5.运行所得到的模型、解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测
进行比较。如果模型结果的解释与实际状况相合或结果与实际观测基本一致,
这表明模型经检验是符合实际问题的,可以将它用于对实际问题进行进一步
的分析讨论。如果模型的结果很难与实际相合或与实际观测不一致,表明这
个模型与所研究的实际问题是不符合的,不能直接将它应用于所研究的实际
问题。
这时如果数学模型的组建过程没有问题的话,就需要返回到建模前关于
题的假设中,检査我们关于问题所作的假设是否恰当,检査是否忽略了不
因素或者还保留着不应该保留的因素。对假设给出必要的修正
的建模过程,直到组建出经检验是符合实际问题的模型为止。
将一个数学模型应用于实际问题时,主要是通过对模型作进一步的
分析和讨论而得到的、使用代数的分析或数值的方法给出模型的解。从
理论上讨论解的性质,必要时也可以写出计算程序或者使用恰当的软件
包由计算机进行模拟。把数学上和计算机运算所得到的结果再回到实际
问题中去,以对实际问题给出解释,解决实际问题或加深我们对问题的
认识,从而达到使用数学模型研究实际问题的目的。
需要注意,我们从数学模型得到结论的主要目的是解决实际问题,
因此,当用它来解决实际问题时的语言应该是非数学工作者所能理解的。
这时,过多、过深地使用数学语言将影响模型的使用效果。要学会使用
通俗的语言表达数学上的结论,使得它能为更多的人所接受
、数学建模举例
下面我们通过一个例子来说明如何应用上面所述的过程建立数学模
型。为了便于理解,我们选择日常生活中大家都能遇到的雨中行走的现
象来建模。
例问题:某夏季的一天,天快要下了,因为你要上课需要从宿舍到教室
去。教室离宿舍不远,仅1000米,且时间紧急,你不准备花时间去翻
找雨具,决定碰一下运气,顶着雨去教室。假设刚刚出发雨就下大了,但
你也不再打算回去了。一路上,你将让大雨淋湿
个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋
的时间。但是如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力地快跑不
定是最好的策略。试建立一数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨
的程度
对于这个实际问题,它的背景是很简单的