二分图及其算法
二分图
参见度娘
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)是一个无向图，如果顶点 V V V可分割为两个互不相交的子集 ( A , B ) (A,B) (A,B)，并且图中的每条边 ( i , j ) (i,j) (i,j) 所关联的两个顶点 i i i 和 j j j 分别属于这两个不同的顶点集 ( i ∈ A , j ∈ B ) (i \in A,j \in B) (i∈A,j∈B)，则称图 G G G为一个二分图。
下文用 G G G 表示图， V V V 表示点集， E E E 表示边集， A A A 表示二分图左边部分， B B B 表示二分图右边部分， w i w_i wi 表示边 i i i 的权值， s i s_i si 表示点 i i i 的顶标
匹配
二分图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，对于任意 e ⊆ E e \sube E e⊆E，如果 ∀ ( u , v ) ∈ e , ( u 2 , v 2 ) ∈ e , { u , v } ∩ { u 2 , v 2 } = ∅ \forall (u,v)\in e, (u_2,v_2)\in e, \{u,v\}\cap\{u_2,v_2\}=\varnothing ∀(u,v)∈e,(u2,v2)∈e,{u,v}∩{u2,v2}=∅，则称 e e e 为 G G G 的一个匹配。
完美匹配
二分图 G = ( V , E ) G = (V,E) G=(V,E) 中，对于任意匹配 e e e， 如果 ∀ ( u , v ) ∈ e , a l l ( u , v ) = V \forall (u,v) \in e, {all(u,v)} = V ∀(u,v)∈e,all(u,v)=V，则称 e e e 为 G G G 的一个完美匹配。
最大匹配
二分图中，元素个数最多的匹配被称为最大匹配。
点覆盖
图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，对于任意 V 0 ⊆ V V_0 \sube V V0⊆V，如果 ∀ ( u , v ) ∈ E , u ∈ V 0 ∨ u ∈ V 0 \forall (u,v) \in E, u \in V_0 \lor u \in V_0 ∀(u,v)∈E,u∈V0∨u∈V0，则称 V 0 V_0 V0 为 G G G 的一个点覆盖。
最小点覆盖
在任意图中，元素个数最少的点覆盖被称为最小点覆盖。
完备匹配
二分图 G = ( V , E ) G = (V,E) G=(V,E) 中，左右两部分为 A A A， B B B，对于任意匹配 e e e，如果 ∀ ( u , v ) ∈ e , A ⊆ { a l l ( u , v ) } ∨ B ⊆ { a l l ( u , v ) } \forall (u,v) \in e, A\sube\{all(u,v)\}\lor B\sube\{all(u,v)\} ∀(u,v)∈e,A⊆{all(u,v)}∨B⊆{all(u,v)}，则称 e e e 为 G G G 的一个完备匹配。
最佳匹配
带权二分图中权值和最大的完备匹配被称为最佳匹配。
最大权匹配
带权二分图中权值和最大的匹配被称为最大权匹配
增广路径
二分图中，被选择的边和没被选择的边交替出现，而且前后一定是未选择的边的一条路径
顶标
二分图中每个点的一个变量，有什么用后面就知道了，我们用 s s s 来表示。
相等子图
二分图 G = ( V , E ) G= (V, E) G=(V,E) 中，如果存在一个 e ⊆ E e \sube E e⊆E，使得 ∀ ( u , v ) ∈ E , w ( u , v ) = s u + s v \forall (u,v) \in E, w_{(u,v)} = s_u + s_v ∀(u,v)∈E,w(u,v)=su+sv，则 ( V , e ) (V,e) (V,e) 为 G G G 的一个相等子图。
性质
- 点覆盖数 = 匹配数。
- 最大匹配数 = 最小覆盖数。
- 独立数 = 顶点数 - 最大匹配数。
- DAG的最小路径覆盖，将每个点拆点后作最大匹配，结果为 n - m
- 最大匹配数 = 左边匹配点 + 右边未匹配点
- 最小边覆盖 = 最大独立集 = 点的个数 - 最大匹配数。
最大匹配算法 - 匈牙利算法
寻找增广路径，然后扩展。没找到就完成了。
最大匹配算法 - 网络流算法
增加超级源点和超级汇点，超级源点连向每个左边节点，然后左边节点按照图中原有边连向右边节点，每个右边节点又连向超级汇点。
每条边权值设为 1 1 1，跑一遍，搞定了。
最大权匹配算法 - 网络流算法
增加超级源点和超级汇点，超级源点连向每个左边节点，然后左边节点按照图中原有边连向右边节点，每个右边节点又连向超级汇点。
每条新增的边权值设为 inf \inf inf，每条原有边权值不变。
最佳匹配算法 - KM算法
顶标就用上了。KM算法遵循一个原则：对于任意边 ( u , v ) (u, v) (u,v)， w ( u , v ) ≤ s u + s v w_{(u,v)} \leq s_u + s_v w(u,v)≤su+sv
流程：
- 初始化顶标
- 用匈牙利算法从相等子图中找完备匹配。
- 如果有完备匹配，说明找到最佳匹配了。
- 如果没有完备匹配，修改顶标并重新从第二步开始。
问题来了，如何修改顶标？
我们可以让相等子图在原二分图的左边的节点全部值减去一个值 d d d，右边全部加上 d d d。
这样可以保证相等子图只增加，不减少。
设 u u u 在二分图左边， v v v 在右边。
如果 u , v u,v u,v 都在相等子图中，则 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) 值不变。
如果 u u u 在相等子图中， v v v 不在，则 w ( u , v ) = s u + s v − d < s u + s v w_{(u,v)} = s_u + s_v - d < s_u + s_v w(u,v)=su+sv−d<su+sv，可能会增加到相等子图中。
如果 v v v 在相等子图中， u u u 不在，则 w ( u , v ) = s u + s v + d > s u + s v w_{(u,v)} = s_u + s_v + d > s_u + s_v w(u,v)=su+sv+d>su+sv，不会增加到相等子图中。
如果 u , v u,v u,v 都不在相等子图中，则 w ( u , v ) w_{(u,v)} w(u,v) 值不变。
所以 d d d 取值？取 s u + s v − w ( u , v ) s_u + s_v - w_{(u,v)} su+sv−w(u,v) 的最小值。
KM 算法到此结束。