泛函分析3——线性空间和赋范线性空间总结
文章目录
- 线性空间的10条特性
- 线性空间的子集
- 子空间和凸集
- 商空间
- 直和
- 赋范线性空间
- 商空间的范数和商映射
- 赋范线性空间的完备性
线性空间的10条特性
[ 1 ] x + y ∈ X [1] x+y \in X [1]x+y∈X whenever x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X
[2] x + y = y + x x+y=y+x x+y=y+x for all x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X
[3] There exists a unique element in X , X, X, denoted by 0 , such that x + 0 = 0 + x = x x+0=0+x=x x+0=0+x=x for all x ∈ X x \in X x∈X;
线性空间中一定存在0元素
[4] Associated with each x ∈ X x \in X x∈X is a unique element in X , X, X, denoted by − x , -x, −x, such that x + ( − x ) = x+(-x)= x+(−x)= − x + x = 0 -x+x=0 −x+x=0
线性空间中元素一定存在唯一对应的负元素
[5] ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (x+y)+z=x+(y+z) (x+y)+z=x+(y+z) for all x , y , z ∈ X x, y, z \in X x,y,z∈X
[6] α ⋅ x ∈ X \alpha \cdot x \in X α⋅x∈X for all x ∈ X x \in X x∈X and for all α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α∈F
[ 7 ] α ⋅ ( x + y ) = α ⋅ x + α ⋅ y [7] \alpha \cdot(x+y)=\alpha \cdot x+\alpha \cdot y [7]α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y for all x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X and all α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α∈F
[ 8 ] ( α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x [8](\alpha+\beta) \cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x [8](α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x for all x ∈ X x \in X x∈X and all α , β ∈ F \alpha, \beta \in \mathbb{F} α,β∈F
[ 9 ] ( α β ) ⋅ x = α ⋅ ( β ⋅ x ) [9](\alpha \beta) \cdot x=\alpha \cdot(\beta \cdot x) [9](αβ)⋅x=α⋅(β⋅x) for all x ∈ X x \in X x∈X and all α , β ∈ F \alpha, \beta \in \mathbb{F} α,β∈F
[ 10 ] 1 ⋅ x = x [10] 1 \cdot x=x [10]1⋅x=x for all x ∈ X x \in X x∈X
线性空间的子集
（1）对加和，数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。
子空间和凸集
（1）对加和，数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。
（2）线性包
（3）凸包：又有绝对凸的（凸加balanced），所有线性子空间都是绝对凸的。
商空间
商空间是按照一定关系对应的，线性空间中的元素对的集合，它可以用一个元素来表示一个集合，看样子可以用来降维。
直和
在一个线性空间X中存在两个子线性空间M和N，X中的一个元素可以分别由M,N中唯一的一个元素相加得到。unique性质。
赋范线性空间
（1）范数是定义在线性空间上的一个实值函数，具有四条特性
N1. ∥ x ∥ ≥ 0 \|x\| \geq 0 ∥x∥≥0;
N2. ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0 \|x\|=0 \Longleftrightarrow x=0 ∥x∥=0⟺x=0
N3. ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\| ∥λx∥=∣λ∣∥x∥
N4. ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\| ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ (Triangle Inequality).
（2）在赋范线性空间中，可以由范数定义一个测度， d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(x, y)=\|x-y\| d(x,y)=∥x−y∥：每一个赋范线性空间都是一个测度空间，一般我们把赋范线性空间的测度用上述范数来定义。测度具有下述两种特性
(i) d ( x , y ) = d ( x + z , y + z ) (Translation Invariance) d(x, y)=d(x+z, y+z) \quad \text { (Translation Invariance) } d(x,y)=d(x+z,y+z) (Translation Invariance)
(ii) d ( λ x , λ y ) = ∣ λ ∣ d ( x , y ) d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| d(x, y) \quad d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y) (Absolute Homogeneity),
商空间的范数和商映射
（1）商空间X/M的范数，就是对应y的下确界
∥ [ x ] ∥ : = inf y ∈ [ x ] ∥ y ∥ = inf m ∈ M ∥ x + m ∥ = inf m ∈ M ∥ x − m ∥ = d ( x , M ) , where [ x ] ∈ X / M \|[x]\|:=\inf _{y \in[x]}\|y\|=\inf _{m \in M}\|x+m\|=\inf _{m \in M}\|x-m\|=d(x, M), \text { where }[x] \in X / M ∥[x]∥:=y∈[x]inf∥y∥=m∈Minf∥x+m∥=m∈Minf∥x−m∥=d(x,M), where [x]∈X/M
赋范线性空间的完备性
（1）赋范空间的收敛：它是定义在范数的基础上上的，不只是一个赋范线性空间的序列号趋于无穷的时候等于一个值。所以它也叫作范数收敛或者强收敛。
lim n → ∞ ∥ x n − x ∥ = 0 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\|=0 limn→∞∥xn−x∥=0
（2）完备性
柯西数列：
一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。
完备性就是
一个度量空间X中的所有柯西数列都会收敛到X 中的一点 ，那么X被称为是一个完备空间
（3）巴拿赫空间
[a] Banach space是一个metric由norm给出的完备赋范空间（所有的赋范空间都是度量空间）。
[b] 如果每一个赋范线性空间X中的绝对收敛级数都收敛到一个数，那么我们就叫X为巴拿赫空间。
（4）赋范线性空间的有界集，完全有界集和紧子集
[a] 有界很简单，就是对于赋范线性空间X中所有元素的范数永远小于一个正数。
[b] 完全有界，总是可以被一个同一赋范线性空间的子集中的元素所限制。
[c] 序列紧：赋范线性空间中的每一个序列都是一个收敛到一个数的序列，那么这个赋范线性空间就是序列紧的。其中序列紧和紧在度量空间中是等价的。
[d] 当一个赋范线性空间中的一个子集中的每一个序列都有一个柯西子序列，那么这个子集就是完全有界集。
（5）有限维赋范线性空间X特性
[a] X上所有的范数都是等价的
[b] X是完备的，且是闭合的
[c] X中一个子集如果是闭合并且有界的，那么它也是序列紧的。