泛函分析笔记2：赋范空间

在度量空间中，我们重点关注的是两个元素之间的距离，而这一部分要引出来的赋范空间中，则对每个元素本身也赋予了“范数”，也就是“长度”。

1. 线性空间

线性空间，可以简单理解为对线性运算封闭的集合。那么线性运算的形式是什么呢？常见的线性运算可以写为 $T(x;a)={\sum }_i{a}_i{x}_i$，因此可以看出来包含了数乘和加法两种基本运算，因此线性空间必然需要对数乘和加法封闭，除此之外，为了保证运算体系的自洽性，我们还需要规定一些其他的运算规则。最后，给出来线性空间的定义：

考虑 $\mathbb{K}=\mathbb{C}or\mathbb{R},X\ne \varnothing ,\forall x,y\in X,\forall \lambda \in \mathbb{K}$，可以定义 $x+y\in X,\lambda x\in X$，如果满足

1. $x+y=y+x$
2. $(x+y)+z=x+(y+z)$
3. $\exists 0\in X,\forall x\in X,x+0=0+x=x$
4. $\forall x,\exists !y\in X,x+y=0,y=-x$
5. $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$
6. $1x=x$
7. $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
8. $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$

则称 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。

例子 1：$S=\{(x_n{)}_{n\ge 1},x_n\in \mathbb{K}\}$，定义加法 $(x_n{)}_{n\ge 1}+(y_n{)}_{n\ge 1}=(x_n+y_n{)}_{n\ge 1}\in S$，定义数乘 $\lambda (x_n{)}_{n\ge 1}=(\lambda x_n{)}_{n\ge 1}\in S$，那么可以验证 $S$ 为线性空间。

例子 2：$C[a,b]$，定义 $(f+g)(t)=f(t)+g(t),(\lambda f)(t)=\lambda f(t)$，可以验证 $C[a,b]$ 为线性空间。

定义：$X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$Y\subset X$，称 $Y$ 为 $X$ 的线性子空间，若 $\forall x,y\in Y,\forall \lambda \in \mathbb{K}$，有 $x+y\in Y,\lambda x\in Y$，并且 $Y$ 本身也是线性空间。

例子 3：${\ell }^{\infty }\subset S$ 是线性空间。

例子 4：${\ell }^p\subset S,1\le p<\infty$ 是线性空间。

例子 5：${\ell }^p\subset c_0(x_n\to 0的序列\{(x_n)\})\subset c(x_n收敛的序列)\subset {\ell }^{\infty }\subset S(无穷维序列)$，每一个都是线性空间。

例子 6：$P$ 所有多项式的集合，$P\subset C[a,b]$ 也是线性空间。

命题：若 $X$ 为线性空间，$(Y_i{)}_{i\in I}$ 为 $X$ 的一族线性子空间，则 $Y={\bigcap }_{i\in I}{Y}_i$ 仍然是 $X$ 的线性子空间。

定义：$X$ 为线性空间，$M\subset X$ 非空，令 $\mathcal{E}$ 为所有包含 $M$ 的线性子空间，那么一定有 $X\in \mathcal{E}$，因此 $\mathcal{E}$ 一定非空。令 $Z={\bigcap }_{Y\in \mathcal{E}}Y$ 也一定是 $X$ 的线性子空间，记 $Z=\text{span}(M)$ 称为 $M$ 生成的线性子空间。

命题：若 $M\subset X$ 非空，那么 $Z=\text{span}(M)=\{{\sum }_i^n{\lambda }_i{x}_i,n\ge 1,x_i\in M,{\lambda }_i\in \mathbb{K}\}$ 为包含 $M$ 的 $X$ 的最小线性子空间。

证明：略。

例子 1：$X=S,e_n=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )\in S,M=\{e_n,n\ge 1\}\subset S$，则 $\text{span}(M)=c_{00}$(只有有限个元素非零的无穷维序列)。

定义：$M\subset X$ 为线性无关的，若 $\forall x_1,...,x_n\in M$ 两两不等，都有 $x_1,...,x_n$ 都线性无关(也即任意有限个元素都线性无关)。

例子 2：$X=C[a,b],{\alpha }_1<{\alpha }_2<\cdots <{\alpha }_n\le \cdots ,f_n=e^{{\alpha }_{n}t}\in C[a,b]$，那么取 $M=\{f_1,f_2,\cdots \}$ 是线性无关的 $⟺\forall n\ge 1,f_1,...,f_n$ 线性无关。

证明：利用线性相关的定义，重复求导、相减的过程，细节略。

定义： $X$ 为线性空间，若 $X$ 中存在 $n$ 个元素线性无关，但任意 $n+1$ 个元素都线性相关，则称 $X$ 为 $n$ 维的，记为 $\text{dim}X=n$。若 $\forall n\ge 1,\exists x_{!},...,x_n$ 线性无关，则称 $X$ 为无穷维的。

命题：$\text{dim}X=n,\forall x\in X$ 都存在唯一的系数 $a_1,...,a_n$ 使得 $x=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$。

证明：略。

对于复空间 ${\mathbb{C}}^n$，认为 $\text{dim}{\mathbb{C}}^n=2n$。

定义：$X$ 为线性空间，$M\subset X$ 线性无关，若 $\text{span}(M)=X$，则称 $M$ 为 $X$ 的 Hamel 基。

命题：$\forall x\in X$，则 $\exists x_1,...,x_n\in M$ 两两不等，$\exists {\lambda }_1,...,{\lambda }_n\in \mathbb{K}$ 均不为 0，使得 $x={\lambda }_1{x}_1+...+{\lambda }_n{x}_n$，并且上述表示唯一。

证明：略。

例子 1：$\{e_1,e_1,...\}$ 为 $c_{00}$ 的 Hamel 基。

定理：$X$ 为线性空间，$M\subset X$ 线性无关，则 $\exists N$ 为 $X$ 的 Hamel 基，使得 $M\subset N$。

小结：这一部分主要是讲解了线性空间的定义，最关键的概念就在于

1. 对于加法和数乘封闭；
2. 可以找到一组基，任意向量都可以用基的线性组合来表示，并且表示方法唯一。

2. 赋范空间与Banach空间

假设 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，定义范数运算 $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$，满足如下条件：

1. $\Vert x\Vert \ge 0$
2. $\Vert x\Vert =0⟺x=0$
3. $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$
4. $\forall x,y\in X,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

则称 $\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的范数，$(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间。

定义：在赋范空间中，$\forall x,y\in X$，若定义 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$，那么该方法定义的 $d(x,y)$ 也是度量，称为 $\Vert \cdot \Vert$ 诱导的度量。若此时 $(X,d)$ 为完备空间，则称 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为 Banach 空间（即完备的赋范空间）。

注：由于范数的定义中第 3 条存在，以及诱导度量只有 $x-y$ 决定，使得诱导度量相比于一般定义的度量还具有一些特别性质，例如：

• 平移不变性 $d(x+a,y+a)=d(x+y)$
• 齐次性 $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |d(x,y)$

例子 1：$({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }),({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p),({\ell }^{\infty },\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }),({\ell }^p,\Vert \cdot {\Vert }_p),(c_0,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }),(c,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 均为 Banach 空间。

例子 2：$S=\{(x_n{)}_{n\ge 1},x_n\in \mathbb{K}\},d(x,y)={\sum }_n\frac{1}{2^n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$，不存在 $S$ 上的范数 $\Vert \cdot \Vert$ 使 $d$ 被诱导出，因为 $d$ 不满足齐次性。

例子 3：$(C[a,b],\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 为 Banach 空间，$(C[a,b],\Vert \cdot {\Vert }_p)$ 不是 Banach 空间。

例子 4：离散度量不满足齐次性，因此不可能由范数诱导出。

命题 1：$(X,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 为赋范空间，$Y$ 为 $X$ 的线性子空间。若 $Y$ 为 Banach 空间，则 $Y$ 在 $X$ 中必为闭集。

命题 2：$(X,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 为 Banach 空间，$Y\subset X$ 为闭集线性子空间，则 $Y$ 必为 Banach 空间。

证明：赋范空间的线性子空间仍然是赋范空间，完备空间一定要是闭集。细节略。

只需要掌握关键点，那么上面的命题都可以由下面的关键点轻松导出：

1. 完备空间一定是闭集；完备空间的子空间也完备 $⟺$ 该子空间为闭集；
2. 赋范空间 + 完备性 = Banach 空间。

命题：若 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为 Banach 空间，$x_n\in X$，且 ${\sum }_n^{\infty }\Vert x_n\Vert <\infty$，则 ${\sum }^{\infty }{x}_n$ 收敛。

证明：完备空间中，证明序列收敛可以证明序列是柯西列。

定义：$(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间，$e_n\in X(n\ge 1)$，称 $(e_n{)}_{n\ge 1}$ 为 $X$ 的一组 Schauder 基，若 $\forall x\in X,\exists !{\lambda }_n,x={\sum }_n^{\infty }{\lambda }_n{e}_n$。

命题：若 $X$ 有 Schauder 基，那么 $X$ 一定是可分的。

证明：可以取 $M=\{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i\in X,n\ge 1,x_i\in \mathbb{Q}\}$，是可数个可数集的并。

Hamel 基与 Schauder 基的区别：

1. 最主要的区别是 Hamel 基可以是有限维也可以是无穷维的，这由集合 $X$ 的维数决定，而 Schauder 基则只定义在无穷维上；
2. 前者针对线性空间，后者针对 Banach 空间。

3. 有限维赋范空间

有限维赋范空间相比于一般的赋范空间有很多很好的性质，比如所有范数等价、有限维赋范空间都是 Banach 空间。

假设 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，并且存在两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$，称二者等价，若
$$\exists \alpha ,\beta >0,\forall x\in X,\alpha \Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le \beta \Vert x{\Vert }_2$$
此时 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1),(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 有：

• 相同的收敛列、柯西列；
• 相同的开集、闭集、闭包、内部；
• $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ Banach $⟺(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ Banach；

引理：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，$Y\subset X$ 为有限维线性子空间，设 $e_1,...,e_n$ 为 $Y$ 的一组基，则 $\exists c>0,\forall {\lambda }_1,...,{\lambda }_n\in \mathbb{K}$，有
$$c(|{\lambda }_1|+\cdots +|{\lambda }_n|)\le \Vert {\lambda }_1{e}_1+\cdots +{\lambda }_n{e}_n\Vert \le \underset{i}{\max }\Vert e_i\Vert (|{\lambda }_1|+\cdots +|{\lambda }_n|)$$
证明：需要用到 Bolzano-Weierstrass 定理，即有界列存在收敛子列。反证法，证明略。

定理：若 $\text{dim}X<\infty$，则 $X$ 上的范数互相等价，且均为 Banach 空间。

证明：只需要证明所有范数与 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 范数等价，且 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 构成 Banach 空间。

推论：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，若 $Y\subset X$ 为有限维线性子空间，则 $Y$ 为闭集。

有限维赋范空间除了这个良好的性质（一定是 Bananch 空间）之外，还有其他的好性质。下面引入紧集的概念。

定义：$(X,d)$，$M\subset X$ 为紧集，若 $\forall x_n\in M,\exists n_k\uparrow \infty ,\exists x\in M,x_{n_k}\to x(k\to \infty ).$

实际上，紧集的概念跟完备性的概念有点像，前者是任意序列一定存在收敛子列，后者说明柯西列一定是收敛列。他们都跟序列的收敛性有关，后面也可以看到，他们都跟闭集有一定的关系。

实际上，紧集一定是有界闭集，但是闭集不一定是紧集。不过对于有限维赋范空间来说，二者等价，后面会有定理专门证明。

定理：$(X,d)$，若 $M\subset X$ 为紧集，则 $M$ 一定完备，并且一定是有界闭集。

定理：$(X,d)$，$M\subset X$ 为紧集，$N\subset M$，则 $N$ 为紧集 $⟺N$ 为闭集。

证明：略。

定理：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，$\text{dim}X=n<\infty$，$M\subset X$ 为紧集 $⟺M$ 为有界闭集。

证明：必要性易证，充分性证明的关键是首先找到 Hamel 基表示，将在 $M$ 中寻找收敛子列的任务分解到对每一个坐标维度上寻找收敛子列，而这可以根据 Bolzano-Weiertrass 定理得到，然后再根据每个坐标为度上的收敛子列得到 $M$ 中的收敛子列。证毕。

引理：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，$M⊊X$ 为闭集线性子空间，对于 $\forall 0<\theta <1$，$\exists z\in X,\Vert z\Vert =1,\forall y\in M,\Vert z-y\Vert \ge \theta .$

证明：固定 $\forall v\in Y^c$，令 $a={\inf }_{y\in Y}\Vert v-y\Vert$，那么 $a>0$，否则的话与 $Y$ 是闭集相矛盾。因此存在 $y_0\in Y$ 使得 $a\le \Vert v-y_0\Vert \le a/\epsilon$。那么我们就可以把这个 $v$ 平移到 $0$ 点附近，同时也把对应的 $y_0$ 平移到原点附近，也就是取 $y=\frac{v-y_0}{\Vert v-y_0\Vert }$，那么 $\Vert y\Vert =1$，并且可以验证 $\forall z\in X$，都有 $\Vert y-z\Vert \ge \epsilon .$ 证毕。

定理(F.Riesz)：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，则 $\text{dim}X<\infty ⟺\bar{B}(0,1)$ 为紧集。

证明：必要性易证。充分性可以利用反证法，若维度无穷，则可以构造出特殊的序列，使得序列中任意两个元素的距离都大于 $1/2$（这要用到上一个引理），从而不存在收敛子列，即 $\bar{B}(0,1)$ 不是紧集。证毕。

推论：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，则 $\text{dim}X<\infty ⟺S(0,1)=\{x:\Vert x\Vert =1\}$ 为紧集。

定义：$(X,d)$，$M\subset X$ 非空，$x_0\in X$，令
$$\rho (x_0,M)=\underset{y\in M}{\inf }d(x_0,y)$$
称为 $x_0$ 到 $M$ 的距离。若 $\exists y_0\in M$，使得 $\rho (x_0,M)=d(x_0,y_0)$，则称 $y_0$ 为 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元。

命题：设 $M$ 为非空紧集，则 $\forall x_0\in X$，$x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元存在。

命题：$(X,d),M$ 为 $X$ 的有限维线性子空间，$\forall x_0\in X,\rho (x_0,M)={\inf }_{y\in M}\{\Vert x_0-y\Vert \}$，则 $x_0$ 在 $M$ 中的最佳逼近元一定存在。

证明：略。

小结：本部分主要证明了有限维赋范空间的良好性质：

1. 有限维赋范空间所有范数等价，且均为 Banach 空间；
2. 有限维赋范空间紧集（即任意序列存在收敛子列） $⟺$ 有界闭集；

4. 有界线性算子

4.1 线性算子

定义：$X,Y$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性子空间，$D(T)\subset X$ 为线性子空间，$T:D(T)\to Y$ 为线性算子，若 $\forall x,y\in D(T),\forall \lambda \in \mathbb{K}$，都有
$$\begin{gathered} T(x+y)=Tx+Ty,T(\lambda x)=\lambda Tx \\ ⟺T(\lambda x+\mu y)=\lambda Tx+\mu Ty. \end{gathered}$$
定义：零空间 $N(T)=\text{ker}(T)=\{x\in D(T),Tx=0\}=T^{-1}(0),$ 像空间 $R(T)=\{Tx,x\in D(T)\}.$

命题：$N(T)$ 为 $D(T)$ 的线性子空间，$R(T)$ 为 $Y$ 的线性子空间。

命题：$T$ 为单射 $N(T)=\{0\}$。

命题：$M\subset D(T)$ 为 $n$ 维线性子空间，则 $\text{dim}T(M)\le n$。

证明：略。

4.2 算子范数

定义：对于线性算子，若 $\exists c\ge 0,\forall x\in D(T),\Vert Tx{\Vert }_Y\le c\Vert x{\Vert }_X$，则称 $T$ 是有界的。使该式成立的最小 $c$ 称为 $T$ 的范数，等价于
$$\Vert T\Vert =\underset{x\in D(T),x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{x\in D(T),\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{x\in D(T),\Vert x\Vert <1}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }$$
例子 1：$X=Y=C[0,1],(Tx)(t)={\int }_0^{t}x(\tau )d\tau$，则 $\Vert T\Vert =1,x(t)\equiv 1$ 时取到。

例子 2：$X=C[-1,1],f(x)={\int }_{-1}^{0}x(t)dt-{\in }_0^{1}x(t)dt,|f(x)|\le 2\Vert x{\Vert }_{\infty }$，但是 $2$ 取不到。

例子 3：$T:C^1[0,1]\to C[0,1],T(x)=x^{\prime }$，那么 $T$ 为线性无界算子。令 $x_n(t)=t^n,t\in [0,1]$，则 $(T{x}_n)(t)=n{t}^{n-1}.$

例子 4：$A=(a_{ij}{)}_{n\times n},a_{ij}\in \mathbb{K},Tx=Ax.\Vert T\Vert =?$

定理：$X,Y$ 为 $\mathbb{K}$ 上的赋范空间，假设 $\text{dim}X=n<\infty$，$T:X\to Y$ 是线性算子，那么 $T$ 一定是有界的。

证明：用基来表示 $X$ 中的元素，并利用性质 $\Vert {\lambda }_1{e}_1+\cdots +{\lambda }_n{e}_n\Vert \ge c(|{\lambda }_1|+\cdots +|{\lambda }_n|)$ 即可得证。证毕。

定理：$X,Y$ 为 $\mathbb{K}$ 上的赋范空间，$T:X\to Y$ 是线性算子，那么以下命题等价

1. $T$ 有界
2. $T$ 处处连续
3. $T$ 在 $X$ 上某一点连续

证明：$(1)\to (2),(2)\to (3)$ 易证；

$(2)\to (1)$：由于 $T$ 连续，在 $x=0$ 点附近，存在 $\delta >0,\forall x\in B(0,\delta )$，有 $\Vert Tx\Vert \le 1$，因而 $\Vert Tx\Vert \le \frac{2}{\delta }\Vert x\Vert$；

$(3)\to (2)$：由于 $T$ 为线性算子，那么只要在任一 $x_0$ 点处连续，经过平移可以得到 $T$ 在任意一点处都连续。

证毕。

推论：$X,Y$ 为 $\mathbb{K}$ 上的赋范空间，$T:X\to Y$ 线性有界，那么 $N(T)$ 为 $X$ 的闭集线性子空间。

用符号 $B(X,Y)$ 来表示 $X\to Y$ 的有界线性算子。

定理：假设 $X$ 为赋范空间，$Y$ 为 Banach 空间，那么 $B(X,Y)$ 为 Banach 空间。

证明：略。

小结：本部分定义了线性算子，以及有界线性算子的范数。由于有界线性算子等价于连续算子，今后主要研究的也是有界线性算子。

5. 有界线性泛函

从赋范空间 $X$ 到 $\mathbb{K}$ 的线性算子称为 $X$ 上的线性泛函。

定义：$(X,\Vert \cdot \Vert )$，用 $X^{\prime }$ 表示 $X$ 上所有有界线性泛函全体，称之为 $X$ 的拓扑对偶空间。

若 $X$ 上的一组基为 $\{e_1,e_2,\cdots \}$（有限维或者无限维均可），那么 $f:X\to \mathbb{K}$ 由 $f(e_1),f(e_2),\cdots$ 唯一确定。

定义：$(X,Y)$ 赋范空间，若存在线性算子 $T:X\to Y$，并且 $\Vert Tx{\Vert }_Y=\Vert x{\Vert }_X,\forall x\in X$，则称 $X,Y$ 为等距同构的，因此可以视 $X,Y$ 为同一空间。

命题：$({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$（此命题的含义为 $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 的对偶空间等价于 $n$ 维空间，也就是说每一个有界线性泛函都可以映射为 ${\mathbb{K}}^n$ 上的一个点/向量）

证明：略。

对于形如 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }=(Y,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 的命题，证明思路如下。

证明：要想证明两个空间等价，那么只需要找到一个线性映射 $T:(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }\to (Y,\Vert \cdot {\Vert }_2)$，使得映射前后在两个空间的范数相等。考虑对 $\forall f\in (X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }$，取 $f\mapsto (f(e_1),f(e_2),\cdots ,f(e_n))$，那么按照以下步骤证明：

1. 证明对于任意 $\forall f\in (X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }$，的确有 $(f(e_1),f(e_2),\cdots ,f(e_n))\in Y$，即映射的源空间和像空间的确是 $X,Y$；
2. 证明 $T$ 为单射（即证明若 $Tf=Tg$，那么有 $f=g$）；
3. 证明 $T$ 为满射，此时 $T$ 为双射（即证明 $\forall \alpha \in Y$，存在 $f\in (X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }$ 使得 $Tf=\alpha$，一般需要构造线性算子 $f$）；
4. 证明 $\Vert Tf\Vert =\Vert f\Vert$。

证毕。

因此按照上面的方法，还可以证明如下几个命题。

• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_q),\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
• $(c_0,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }{)}^{\prime }=({\ell }^1,\Vert \cdot {\Vert }_1)$
• $({\ell }^1,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\prime }=({\ell }^{\infty },\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$
• $({\ell }^p,\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{\prime }=({\ell }^q,\Vert \cdot {\Vert }_q)$

小结：有界线性泛函可以映射到某个我们熟悉的空间，对于后面的处理很有用。

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前面的一些博客链接如下
泛函分析专栏
泛函分析笔记 0：绪论
泛函分析笔记 1：度量空间
泛函分析笔记 2：赋范空间