PyTorch 入坑十一： 损失函数、正则化----深刻剖析softmax+CrossEntropyLoss

概念

Loss Function

计算一个样本的损失：

Cost Function

整个训练集（或者batch）的损失平均值

Objective Function

目标函数是一个更广泛的概念，在机器学习中，目标函数包含Cost和Regularization（正则项）：

• 正则化：惩罚较大的参数，参数的值越小，通常对应于越光滑的函数，也就是更加简单的函数。因此 就不易发生过拟合的问题。
• 常用的有L1正则化和L2正则化
• L1更适用于更适用于特征选择；L2更适用于防止模型过拟合
• 更多细节参考 正则化的描述

正则化

方差的概念参考：方差

正则化策略的目的就是降低方差，减小过拟合的发生。

常用的手段有：L1正则化、L2正则化、Dropout、提前终止(早停)、数据扩增。
正则化这个话题比较大，待开一篇文章专门描述。

损失函数

交叉熵损失函数nn.CrossEntropyLoss()

• 交叉熵损失函数常常用于分类任务
• 交叉熵是衡量两个概率分布之间的差异。所以交叉熵值越低表示两个分布越近

自信息

自信息用于衡量单个事件的不确定性，其公式为：

熵(信息熵)

熵指的是信息熵，是自信息的期望。用来描述一个事件的不确定性，一个事件越不确定熵越大。熵是整个概率分布的不确定性，用来描述整个概率分布

伯努利分布的信息熵：

当事件的概率为0.5(如抛硬币)时，其信息熵最大，这也表示事件的不确定性最大，其熵最大值为0.69；如事件“明天太阳从东方生气”（概率极大），其信息熵比较小

相对熵（KL散度）

相对熵也称为KL散度，相对熵用于衡量两个分布之间的差异，也就是两个分布之间的距离，虽然相对熵可以计算两个分布之间的距离，但是相对熵不是一个距离函数，因为距离函数具有对称性，对称性指的是P到Q的距离等于Q到P的距离，但是相对熵不具备距离函数的对称性。

交叉熵

交叉熵、KL散度、信息熵的关系：
公式中的P是真实的概率分布，也就是训练集中样本的分布，Q是模型输出的分布，因为训练集是固定的，所以H ( P ) 是一个常数，所以交叉熵在优化的时候是优化相对熵。
下面看两个交叉熵具体计算的例子：
参考交叉熵损失函数

二分类

多分类

学习过程

交叉熵损失函数经常用于分类问题中，特别是在神经网络做分类问题时，也经常使用交叉熵作为损失函数。此外，由于交叉熵计算中需要输入属于某一类的概率，所以交叉熵几乎每次都和sigmoid(或softmax)函数一起出现。
我们用神经网络最后一层输出的情况，来看一眼整个模型预测、获得损失和学习的流程：

• 神经网络最后一层得到每个类别的得分scores
• 该得分经过sigmoid(或softmax)函数获得概率输出；
• 模型预测的类别概率输出与真实类别的one hot形式进行交叉熵损失函数的计算。

同MSE(Mean Squared Error)相比的优势

首先来看sigmoid+MSE的缺点：

• 一句话总结：分类问题中，使用sigmoid/softmx得到概率，配合MSE损失函数时，采用梯度下降法进行学习时，会出现模型一开始训练时，学习速率非常慢的情况
• 具体来说，在sigmoid层的的输入较大或者较小时，激活函数输出接近于1或者0，导致Loss相对于W的梯度接近0，学习困难。

sigmoid+ CELoss的优点

如公式所示，Loss关于最后一层的w梯度中，si表示sigmoid的输入，yi为label，xi为sigmoid之前的全连接层的输入。
xi -> 全链接层 -> si -> sigmoid层 -> CEloss层。
公式表明，当激活函数层的输出同label差异较大时，L关于w的梯度会较大，从而快速学习。[同生活中“因为明显的犯错可以快速地学习到正确的东西”比较一致]

工程实现中的问题与措施

• softmax自身导致的数值问题
• Softmax loss = softmax和交叉熵(cross-entropy loss)loss组合而成。
• 所以全称是softmax with cross-entropy loss。
• 在caffe，tensorflow等开源框架的实现中，直接将两者放在一个层中，而不是分开不同层，可以让数值计算更加稳定，因为正指数概率可能会有非常大的值
• 参考 softmax数值稳定性 softmax数值稳定性2

softmax的缺点

前面说到，softmax一般配合CEloss一起使用。但是softmax这个操作具体什么含义呢。

• softmax与hardmax

在CNN的分类问题中，我们的ground truth是one-hot形式，下面以四分类为例，理想输出应该是（1，0，0，0），或者说（100%，0%，0%，0%），这就是我们想让CNN学到的终极目标。
网络输出的幅值千差万别，输出最大的那一路对应的就是我们需要的分类结果。通常用百分比形式计算分类置信度，最简单的方式就是计算输出占比，这种最直接最最普通的方式，相对于soft的max，在这里我们把它叫做hard的max。

而现在通用的是soft的max，将每个输出x非线性放大到exp(x)

这样做有什么区别呢，看下面的例子：

相同输出特征情况，soft max比hard max更容易达到终极目标one-hot形式，或者说，softmax降低了训练难度，使得多分类问题更容易收敛。同时Softmax鼓励真实目标类别输出比其他类别要大，但并不要求大很多。对于人脸识别的特征映射（feature embedding）来说，Softmax鼓励不同类别的特征分开，但并不鼓励特征分离很多，如上表（5，1，1，1）时loss就已经很小了，此时CNN接近收敛梯度不再下降。

• Softmax训练的深度特征，会把整个超空间或者超球，按照分类个数进行划分，保证类别是可分的，这一点对多分类任务如MNIST和ImageNet非常合适，因为测试类别必定在训练类别中。封闭集任务有效
• 但Softmax并不要求类内紧凑和类间分离，这一点非常不适合人脸识别任务，因为训练集的1W人数，相对测试集整个世界70亿人类来说，非常微不足道，而我们不可能拿到所有人的训练样本，更过分的是，一般我们还要求训练集和测试集不重叠。
• 所以需要改造Softmax，除了保证可分性外，还要做到特征向量类内尽可能紧凑，类间尽可能分离，常见的有L-softmax等

PyTorch中 CEloss应用

PyTorch中 CrossEntropyLoss 等价于 LogSoftmax + NLLLoss

CrossEntropyLoss 等价于 LogSoftmax + NLLLoss

PyTorch中的其他损失函数

nn.BCELoss

功能：二分类交叉熵；

nn.BCEWithLogitsLoss

BCEWithLogitsLoss就是把Sigmoid-BCELoss合成一步

更多loss参考PyTorch中更多loss说明