荒野猿人

单纯形算法详细解析

0. 简介

1. 单纯形算法解析

1.1 基本概念及原理解析

1.1.1 线性规划标准形式

1.1.2 线性规划典范形式

1.1.3 凸组合和凸锥组合

1.1.4 极点和极方向

1.1.5 线性规划可行域的表示

1.1.6 线性规划基本定理

1.1.7 基本解与基本可行解

1.1.8 关于“退化”

1.2 “判优”规则

1.3 “改进”规则

1.4 “初始点”确定方法

1.4.1 两阶段法

1.4.2 大M法

1.5 单纯形算法中的几个问题

1.6 单纯形算法计算步骤图

2 单纯形算法计算案例

3 参考资料

0. 简介

单纯形算法（simplex method）是求解线性规划模型的一种通用方法。

线性规划模型具有三个要素：

决策变量

目标函数

约束条件

线性规划模型具有这样的特点：

决策变量相互独立且连续变化

目标函数是线性函数

约束条件是线性不等式组

例：一个企业“生产计划”的线性规划模型如下

$\begin{align*} max \quad & z = 50x_1+80x_2\\ s.t. \quad & 0.5x_1 + 2x_2 \leq 40 \\ &x_1+1.5x_2 \leq 45\\ &x_1,x_2 \geq0 \end{align}$

是指目标函数极大化，maximum的缩写，如果目标函数极小化则用, minimize的缩写。是subject to的缩写，表示受限制于，其后跟约束条件。上述模型中约束条件前两条表示资源约束，最后一条表示决策变量的非负约束。

一般来说，对于生产计划这类问题，可用如下线性规划模型近似表示

$\begin{align*} max \quad &\sum_{j=1}^{n}c_j x_j&\\ s.t. \quad &\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\leq b_i, i=1,2,\cdots ,m,&\\ &x_j \geq 0, j=1,2,\cdots ,n. \end{align}$

当然线性规划模型可以远比以上模型复杂，需要根据具体问题特征进行建模。下面介绍求解线性规划模型的单纯形算法。

1. 单纯形算法解析

单纯形算法遵循“初始点——判优——改进”的优化模式。我们首先讨论“判优”，然后讨论“改进”，最后讨论“初始点”。

1.1 基本概念及原理解析

为了方便后续的讨论，需要先了解一些线性规划的表示形式、可行域、以及线性规划可行解的刻画等内容

1.1.1 线性规划标准形式

定义1： 线性规划的标准形式（standard form）是指满足如下四个条件的线性规划模型：

（1）所有决策变量的取值是非负的；

（2）除决策变量非负约束外的其他约束是等式约束；

（3）模型中目标函数需要极大化（也可以要求极小化）；

（4）等式约束中常数项位于等号的右端（称为右端项，right hand side）

例：一个线性规划模型的标准形式

线性规划模型标准形式的一般表达为

线性规划模型标准形式的矩阵表达为

$\begin{align*} max \quad & z=\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{x}\\ s.t. \quad & \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\\ & \boldsymbol{x}\geq0 \end{}$

1.1.2 线性规划典范形式

定义2： 线性规划的典范形式（canonical form）是指满足如下四个条件的线性规划模型：

（1）所有决策变量的取值是非负的；

（2）除决策变量非负约束外的其他约束是等式约束，并且右端项是非负的；

（3）模型中目标函数需要极大化（也可以要求极小化）；

（4）在等式约束中存在一组与等式约束个数相等的决策变量，它们的系数构成系数矩阵的一个单位子矩阵。

例：一个线性规划模型的典范形式

线性规划模型典范形式的一般表达为

1.1.3 凸组合和凸锥组合

定义3： 给定个向量 $\boldsymbol{x^1,x^2,\cdots,x^m} \in \mathbb{R}^n$ 以及满足 $\sum_{i=1}^m \alpha_i =1$ 的非负实数 $\alpha_i \geq0, i=1,2,\cdots,m,$ 我们将向量 $\alpha_1 \boldsymbol{x^1}+\alpha_2 \boldsymbol{x^2}+\cdots+\alpha_m \boldsymbol{x^m}$ 称为 $\boldsymbol{x^1,x^2,\cdots,x^m}$ 的凸组合（convex combination），如果仅仅要求组合系数 $\alpha_i \geq0, i=1,2,\cdots,m,$ 那么向量 $\alpha_1 \boldsymbol{x^1}+\alpha_2 \boldsymbol{x^2}+\cdots+\alpha_m \boldsymbol{x^m}$ 称为 $\alpha_1 \boldsymbol{x^1}+\alpha_2 \boldsymbol{x^2}+\cdots+\alpha_m \boldsymbol{x^m}$ 的凸锥组合（convex conical combination）,也称为非负线性组合。

这里回顾一下线性规划的标准形式的矩阵表达式（这里我们要求目标函数极小化）

$\begin{align*} min \quad & z=\boldsymbol{c^{\rm{T}}x}\\ s.t. \quad & \boldsymbol{\rm{A}}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\\ & \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0} \end{align}$

其中系数矩阵 $\boldsymbol{\rm{A}}\in\mathbb{R}^{m \times n}$ ，右端项 $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$ ，目标函数的梯度向量 $\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^n$ ，决策变量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ 。线性规划的可行域实际上是由右端项 $\boldsymbol{b}$ 相对于系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量的凸锥组合系数 $\boldsymbol{x}$ 构成的。

定义4：设集合 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ ，若 $\forall \boldsymbol{x}^1,\boldsymbol{x}^2 \in S$ 和 $\forall \alpha \in [0,1]$ ，有 $\alpha \boldsymbol{x}^1+(1-\alpha) \boldsymbol{x}^2 \in S$ ，则称为一个凸集（convex set）。

集合 $T\subset \mathbb{R}^n$ 的凸包（convex hull）是指包含的凸集的交集，即包含的最小凸集，记为

${\rm conv} \ T \overset{def}{=} \cap_{C \supseteq T} C$

其中为凸集。

一个有限点集 $\{\boldsymbol{x}^0,\boldsymbol{x}^1,\cdots,\boldsymbol{x}^m\} \subset \mathbb{R}^n$ 的凸包通常称为多胞形（polytope）。特别地，当 $\boldsymbol{x}^1-\boldsymbol{x}^0,\boldsymbol{x}^2-\boldsymbol{x}^0,\cdots,\boldsymbol{x}^m-\boldsymbol{x}^0$ 线性无关时，该有限点集对应的凸包称为维单纯形（-dimensional simplex）,向量 $\boldsymbol{x}^{i}(i=0,1,\cdots,m)$ 称为该该单纯形的顶点（vertex）。一般地，我们把有限个闭半空间的交 $\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n| \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\}$ （其中 $\boldsymbol{A}$ 的行向量非零）称为一个多面体（polyhedron）。可以证明，非空的有界多面体是一个多胞形，也就是说，它能够表示成其顶点的凸组合。

定义5：给定非空集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ ，若 $\forall \boldsymbol{x} \in C$ 和实数 $\lambda >0$ ，有 $\lambda \boldsymbol{x} \in C$ ，则称为一个锥（cone）。此外，若也是一个凸集，则称为一个凸锥（convex cone）。

我们约定：非空集合 $S \subset \mathbb{R}^n$ 生成的凸锥，是指可以表示成中有限个元素凸锥组合的所有点构成的集合，记为 ${\rm cone}\ S$ 。特别地，若非空集合是凸的，则 $\mathcal{K}(S)=\{\lambda \boldsymbol{x} | \lambda >0, \boldsymbol{x} \in S\}$ 是包含的最小凸锥，并且

${\rm cone}\ S=\mathcal{K}(S) \cup \{\boldsymbol{0}\}$

1.1.4 极点和极方向

定义6：设 $S\subset \mathbb{R}^n$ 为非空的凸集，若 $\boldsymbol{x} \in S$ 不能表示成中两个不同点的凸组合，即不存在两个不同的点 $\boldsymbol{x}^1,\boldsymbol{x}^2 \in S$ 和实数 $\alpha \in (0,1)$ ，使得 $\boldsymbol{x} = \alpha \boldsymbol{x}^1+(1-\alpha)\boldsymbol{x}^2$ ，则 $\boldsymbol{x}$ 称为的一个极点（extreme point）。

定义7：设 $S \subset \mathbb{R}^n$ 为非空的凸集，若向量 $\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^n$ 满足：对于 $\forall \boldsymbol{x} \in S$ ，射线

$R(\boldsymbol{x},\boldsymbol{d}) \overset{def}{=} \{\boldsymbol{x}+\lambda \boldsymbol{d} | \lambda \geq0\} \subseteq S$

则称向量 $\boldsymbol{d}$ 是的一个回收方向（direction of recession of ），简称方向。非空凸集的所有（回收）方向构成的尖锥（包括零向量），称为的回收锥（recession cone of ）,记为。

设 $\boldsymbol{d}^1,\boldsymbol{d}^2$ 为非空凸集的两个（回收）方向，若对于任意 $\lambda>0$ ，都有 $\boldsymbol{d}^1\neq \lambda\boldsymbol{d}^2$ ，则称 $\boldsymbol{d}^1,\boldsymbol{d}^2$

是的两个不同的方向。当非空凸集的（回收）方向 $\boldsymbol{d}$ 不能表示成它的两个不同方向的凸锥组合时，该方向 $\boldsymbol{d}$ 称为的一个极方向（extreme direction）。

1.1.5 线性规划可行域的表示

线性规划的可行域是一个多面体。下面给出一个关于多面体内在表示形式的定理。多面体表示定理是多面体的一个重要性质，在最优化领域具有十分重要作用。该定理表面，多面体可以用其极点（顶点）的凸组合和极方向的凸锥组合来表示。

定理1（多面体表示定理，也称为Minkowski's Theorem）：若多面体 $P=\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \} \neq \varnothing$ ，并且 $rank(\boldsymbol{A})=n$ ，则

（1）的极点集是非空的有限集合，记为 $\{\boldsymbol{x}^k\}_{k \in \mathcal{K}}$ ;

（2）记的极方向集为 $\{\boldsymbol{d}^j\}_{j\in \mathcal{J}}$ （我们约定，当不存在极方向时，指标集 $\mathcal{J}=\varnothing$ ）,那么

$\begin{align*} P&={\rm conv}\{\boldsymbol{x}^k|k\in \mathcal{K}\}+{\rm cone}\{\boldsymbol{d}^j|j\in \mathcal{J}\}\\ &=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n|\boldsymbol{x}=\sum_{k\in \mathcal{K}}\lambda_k\boldsymbol{x}^k+ \sum_{j\in \mathcal{J}} \mu _j\boldsymbol{d}^j,\sum_{k\in \mathcal{K}}\lambda_k=1,\lambda_k\geq0,k\in \mathcal{K},\mu _j\geq0,j\in \mathcal{J}\} \end{}$

（3）指标集 $\mathcal{J}=\varnothing \Leftrightarrow P$ 是有界集合（即是一个多胞形）

利用这个定理，可以得到如下推论

推论1.1 若多面体 $S=\{\boldsymbol{x} | \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b},\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0}\}$ 是非空的，则必存在极点。

1.1.6 线性规划基本定理

现在我们考虑线性规划的标准形式，假设可行域 $S=\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},\boldsymbol{x}\geq0\}$ 的极点为 $\boldsymbol{x}^i(i \in \mathcal{K})$ ，极方向为 $\boldsymbol{d}^j(j \in \mathcal{J})$ ，那么任意的点 $\boldsymbol{x} \in S$ 都可以表示成

$\boldsymbol{x} = \sum_{i \in \mathcal{K}} \lambda_i\boldsymbol{x}^i + \sum_{j \in \mathcal{J}} \mu_j \boldsymbol{d}^j$

其中

$\sum_{i \in \mathcal{K}} \lambda_i =1, \lambda_i \geq 0, \mu_j \geq 0 (i \in \mathcal{K}, j \in \mathcal{J})$

于是，线性规划的标准形式可以等价地转化成只有一个等式约束和若干个非负变量约束的线性规划问题：

$\begin{align*} {\rm min} \quad &\sum_{i \in \mathcal{K}}(\boldsymbol{c}^{\rm T} \boldsymbol{x}^i) \lambda_i + \sum_{j \in \mathcal{J}}(\boldsymbol{c}^{\rm T} \boldsymbol{d}^j) \mu_j , \\ {\rm s.t.} \quad & \sum_{i \in \mathcal{K}} \lambda_i = 1, \\ & \lambda_i \geq 0, \mu_j \geq 0, i \in \mathcal{K} , j \in \mathcal{J}. \end{align}$

容易看出，可以分两种情况讨论转化之后的线性规划的极小化问题：

情形1： 若存在 $j \in \mathcal{J}$ ，使得 $\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{d}^j < 0$ ，则线性规划是无（下）界的，原来的线性规划问题不存在有限最优值。

情形2：若 $\forall j \in \mathcal{J}$ ，有 $\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{d}^j \geq 0$ ，则取 $\mu_j = 0(j \in \mathcal{J})$ 不会影响到线性规划的最优值。这就是说，在最优值不变的意义下，极小化问题可转化为

$\begin{align*} {\rm min} \quad &\sum_{i \in \mathcal{K}}(\boldsymbol{c}^{\rm T} \boldsymbol{x}^i) \lambda_i, \\ {\rm s.t.} \quad & \sum_{i \in \mathcal{K}} \lambda_i =1,\\ & \lambda_i \geq 0, i \in \mathcal{K}. \end{align}$

以上问题的可行域是一个多胞形（有界多面体），该问题必然有最优解。最优值可以在某个 $\lambda_p=1$ 处取到，其中

$\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{x}^{p} = {\rm min}\{\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{x}^{i} | i \in \mathcal{K}\}$

上述转化实际上揭示了线性规划最优值存在的条件及最优解的特点，这就是线性规划基本定理的重要内容。在此，我们可以将线性规划的基本定理表述如下：

定理2（线性规划基本定理）假设线性规划标准形式的可行域 $S=\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},\boldsymbol{x}\geq0\}$ $\neq \varnothing$ ，则有如下结论：

（1）该线性规划问题存在有限最优值，当且仅当对于可行域的任意极方向 $\boldsymbol{d}^j(j \in \mathcal{J})$ 有 $\boldsymbol{c}^{\rm T}\boldsymbol{d}^j \geq 0$ 。

（2）当线性规划问题存在有限最优值时，其最优值可以在可行域的某个极点上取到。

1.1.7 基本解与基本可行解

定义8： 给定一个线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ ，其中 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m,{\rm rank}(\boldsymbol{A})=m$ ，若该方程组的一个解 $\boldsymbol{x}$ 满足：存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个可逆子矩阵 $\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ ，使得 $\boldsymbol{A} = [\boldsymbol{B},\boldsymbol{N}]$ ，并且 $\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}},\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}})^{\rm T}$ ，这里 $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}}=0, \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b}$ ，则称 $\boldsymbol{x}$ 为可行域 $S=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b},\boldsymbol{x} \geq 0 \}$ 的一个基本解（basic solution）。此时子矩阵 $\boldsymbol{B}$ 称为基矩阵（basis）, $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}$ 中对应的分量称为基变量（basic variables）, $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}}$ 中对应的分量为非基变量（non-basic variables）。

若 $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}},\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}})^{\rm T}$ 是可行域的一个基本解，并且满足 $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b} \geq 0$ ，则 $\boldsymbol{x}$ 称为的一个基本可行解（basic feasible solution）。此时子矩阵 $\boldsymbol{B}$ 称为一个可行基矩阵（feasible basis）, $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}$ 称为一组可行基变量（feasible basic variables）, $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}}$ 称为一组非基变量（non-basic variables）。

可行域的基本可行解与它的极点（顶点）之间有密切的关系，我们把这种关系描述称下面的定理。

定理3： 给定一个非空集合 $S=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b},\boldsymbol{x} \geq 0 \}$ ，其中矩阵 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的秩 ${\rm rank}(\boldsymbol{A})=m$ ，则下面三个集合是相等的：

（1）的基本可行解集；

（2） $\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n | \boldsymbol{x} \in S$ ，其中正分量对应的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的列向量构成一个线性无关的向量组};

（3）的极点集。

1.1.8 关于“退化”

定义9： 若线性规划的可行域是非空的，则称该线性规划是相容的（consistent），否则称为非相容的（non-consistent）。

对于一个相容的线性规划，若某个基本可行解中取值非零的变量数目小于系数矩阵的秩，则称该解是退化的（degenrate）,否则称为非退化的（non-degenerate）。若线性规划存在一个退化的基本可行解，则称该线性规划是退化的，否则称为非退化的。

1.2 “判优”规则

单纯形算法（simplex method）是一种迭代算法，其基本思想是：从线性规划可行域（多面体）的某个顶点出发，利用目标函数中变量系数的符号判断该顶点的最优性，当该点不是最优点时，算法寻找一个相邻的顶点，使得目标函数值在新点处有所改进；然后，从相邻顶点出发，继续判优或者寻找另一个更好的顶点，直到到达最优的顶点（或者判定线性规划是无界的）。由于可行域的顶点（极点）集合与它的不等式表示的基本可行解集合是一样的，所以，从代数的角度来看，单纯形算法实质上是从可行域的一个基本可行解出发，求出使目标函数得到改进的相邻的基本可行解，以此类推，直到求得一个最优的基本可行解，或者找到最优解不可能存在的判据。

判优规则是与线性规划的典范形式有关的，这些典范形式等价于给定的线性规划问题。下面给出线性规划典范形式的矩阵表达式：

$\begin{align*} {\rm min} \quad & z=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b} + (\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{N}}^{\rm T}-\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N}) \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}} \\ {\rm s.t.} \quad & \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}+\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N}\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b}\\ & \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}} \geq 0, \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{N}} \geq 0. \end{align}$

注：给出基 $\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}$ 后，由其典式可得出以下结论：

（1）基可行解 $\boldsymbol{X}^0=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,0,\cdots,0)^T=(\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b},\boldsymbol{0})^{\rm T}$

（2）其对应的目标函数值 $z_0=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{b}$

（3）检验数 $(\sigma_{m+1},\cdots,\sigma_n)$ （针对非基变量）用来判断 $\boldsymbol{X}^0$ 是否是最优解，其中

$\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{N}}=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{N}}^{\rm T}-\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N} =(\sigma_{m+1},\cdots,\sigma_n)$

定理4（最优解判定准则）：

假设目标函数极小化（min）， $\boldsymbol{X}^0$ 是基可行解，则：

（1）如果 $\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{N}}=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{N}}^{\rm T}-\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N} \geq0$ ，则 $\boldsymbol{X}^0$ 是线性规划问题的最优解。

（2）如果 $\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{N}}=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{N}}^{\rm T}-\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N} > 0$ ，则 $\boldsymbol{X}^0$ 是线性规划问题的唯一最优解。

（3）如果 $\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{N}}=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{N}}^{\rm T}-\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{B}}^{\rm T}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N} \geq0$ ，并且存在某个 $\sigma_{m+l}=0$ ，则线性规划问题有无穷多最优解。

（4）如果存在一个 $\sigma_{m+k}<0$ ，并且 $\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{N}_{k} \leq0$ （即非基变量 $x_{m+k}$ 对应的系数矩阵列向量，全部小于等于0），则线性规划问题无最优解（也称无界解）。

1.3 “改进”规则

以极小化目标函数为例，可能存在多个检验数小于零，那么选择哪一个检验数对应的非基变量作为入基变量，哪一个基变量作为出基变量呢？这涉及单纯形算法的“转轴规则”。为了改进目标函数数值，理论上可以尝试选择任意一个负检验数对应的非基变量进入可行基。选择入基变量的方法不同，会导致单纯形算法的不同类型。概括地说，一个转轴过程可以分成三个部分：

（1）确定进入可行基的非基变量（称为转入规则（pivoting in））;

（2）确定离开可行基的基变量（称为转出规则（pivoting out））;

（3）进行可行基转换的线性方程组Gauss消去操作（称为转轴操作）。

下面介绍最常用的单纯形算法的转轴规则（目标函数极小化）：

（1）转入规则：最大减少率规则（Largest reduction rule, LRR），选择检验数最小的 $\sigma_{m+k}<0$ 对应的非基变量 $x_{m+k}$ 入基。但是没有人证明，LRR是否比其他的转入规则好，其中“好”的标准不是针对某个线性规划实例，而是相对于整个线性规划问题来说的。

（2）转出规则：最小比检验规则（minimum ratio test, MRT），参考线性规划典范形式的一般表达，我们令

$\theta= {\rm min} \left\{ \frac{\alpha_i}{\beta_{ik}}|\beta_{ik}>0 \right \} = \frac{\alpha_l}{\beta_{lk}}$

确定基变量是换出基变量。

（3）进行基变换。得到新的基可行解及其典范形式。

1.4 “初始点”确定方法

对于任意一个线性规划问题，如果容易找到它的一个基本可行解，那么就可以从这个基本可行解出发，利用单纯形表求出该问题的最优基本可行解，或者判断该问题是无界的。接下来，将介绍两种确定单纯形算法初始点的策略：两阶段法、大M法。

1.4.1 两阶段法

假定约束方程的系数矩阵A不包含同阶的单位矩阵，如下：

那么进行如下操作

根据新的线性规划模型，可知

1.4.2 大M法

1.5 单纯形算法中的几个问题

1.6 单纯形算法计算步骤图

2 单纯形算法计算案例

第1步：列出单纯形表

第一次迭代：

第二次迭代：

第三次迭代：

至此，计算结束，最优解 $\boldsymbol{x}=(x_1=5,x_2=3,x_3=1)$ ，最优值z=20。

3 参考资料

【1】黄红选.《运筹学：数学规划》. 清华大学出版社，2011。

【2】中国矿业大学本科运筹学课件。

注：第一次写这种算法分享文章，看起来比较枯燥，基本上是课本和课件的内容，只是做了些整合。自己的想法是如果能理解算法背后的原理，对于学习算法的同学来说会更容易记住。后续争取自己再写算法分享时，能够通俗易懂，简洁明了。

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在选择广州会刊小程序开发公司时，有几个关键因素需要考虑。首先，您应该确定自己的需求和目标，以便找到最合适的开发公司。其次，您需要考虑公司的经验和专业知识。最后，您还应该考虑公司的信誉和口碑。开发-联系电话：13642679953（微信同号）首先，您应该明确自己的需求和目标。会刊小程序是一种用于展示会议信息和日程安排的应用程序。在选择开发公司之前，您应该明确自己的需求，包括功能要求、设计风格和用户体
EIO国际确定性的交易（3/10）资管，资金委托安全吗？古城鹏哥
大家可能都知道资金托管，账户是自己开，钱在自己的账户上，密码是由自己掌控，别人提不走你账户的资金，每天可以看下到自己的账户，也可以看到交易流水。现金只能提到自己的银行卡中。账户由技术人员或操作人员，或者是机构团队帮你操作账户，产生盈利和收入，以获得的利润来分配盈利，技术强硬和做的时间久了过硬技术团队，会保证你的资金本金，不会让你的本金亏损的按照一定比例分配收入。所以在这个过程当中一定要看清楚技术的
insert into select 主键自增_mybatis拦截器实现主键自动生成 weixin_39521651 insert into select 主键自增 mybatis delete返回值 mybatis insert返回主键 mybatis insert返回对象 mybatis plus insert返回主键 mybatis plus 插入生成id
前言前阵子和朋友聊天，他说他们项目有个需求，要实现主键自动生成，不想每次新增的时候，都手动设置主键。于是我就问他，那你们数据库表设置主键自动递增不就得了。他的回答是他们项目目前的id都是采用雪花算法来生成，因此为了项目稳定性，不会切换id的生成方式。朋友问我有没有什么实现思路，他们公司的orm框架是mybatis，我就建议他说，不然让你老大把mybatis切换成mybatis-plus。mybat
k均值聚类算法考试例题_k均值算法(k均值聚类算法计算题) 寻找你83497 k均值聚类算法考试例题
?算法：第一步：选K个初始聚类中心，z1(1),z2(1)，…，zK(1)，其中括号内的序号为寻找聚类中心的迭代运算的次序号。聚类中心的向量值可任意设定，例如可选开始的K个.k均值聚类：---------一种硬聚类算法，隶属度只有两个取值0或1，提出的基本根据是“类内误差平方和最小化”准则；模糊的c均值聚类算法：--------一种模糊聚类算法，是.K均值聚类算法是先随机选取K个对象作为初始的聚类
STM32中的计时与延时 lupinjia STM32 stm32 单片机
前言在裸机开发中，延时作为一种规定循环周期的方式经常被使用，其中尤以HAL库官方提供的HAL_Delay为甚。刚入门的小白可能会觉得既然有官方提供的延时函数，而且精度也还挺好，为什么不用呢？实际上HAL_Delay中有不少坑，而这些也只是HAL库中无数坑的其中一些。想从坑里跳出来还是得加强外设原理的学习和理解，切不可只依赖HAL库。除了延时之外，我们在开发中有时也会想要确定某段程序的耗时，这就需要
小说《灰色年代》第三章、书中自有黄金屋/第二节（1）/作者:邵明房作者_0970
——第三章、第二节、科举与国考（1）科举制的简介：科举制度是古代读书人，参加选拔考试的制度，它是历代通过考试选拔官吏的一种手段，由于采用分科取士的办法，所以叫做科举。科举制从隋代开始实行，到清光绪三十一年（1905年）举行最后一科进士考试为止，经历了1300年，1905年9月2日，清政府废除科举制度。科举考前三名，分别为状元、榜眼、探花。这种划分和称谓是在元朝时确定下来的，明清时期沿袭了元朝的这种
关于Mysql 中 Row size too large (＞ 8126) 错误的解决和理解秋刀prince mysql mysql 数据库
提示：啰嗦一嘴，数据库的任何操作和验证前，一定要记得先备份！！！不会有错；文章目录问题发现一、问题导致的可能原因1、页大小2、行格式2.1compact格式2.2Redundant格式2.3Dynamic格式2.4Compressed格式3、BLOB和TEXT列二、解决办法1、修改页大小（不推荐）2、修改行格式3、修改数据类型为BLOB和TEXT列4、其他优化方式（可以参考使用）4.1合理设置数据
Python实现简单的机器学习算法 master_chenchengg python python 办公效率 python开发 IT
Python实现简单的机器学习算法开篇：初探机器学习的奇妙之旅搭建环境：一切从安装开始必备工具箱第一步：安装Anaconda和JupyterNotebook小贴士：如何配置Python环境变量算法初体验：从零开始的Python机器学习线性回归：让数据说话数据准备：从哪里找数据编码实战：Python实现线性回归模型评估：如何判断模型好坏逻辑回归：从分类开始理论入门：什么是逻辑回归代码实现：使用skl
推荐算法_隐语义-梯度下降 _feivirus_ 算法机器学习和数学推荐算法机器学习隐语义
importnumpyasnp1.模型实现"""inputrate_matrix:M行N列的评分矩阵，值为P*Q.P:初始化用户特征矩阵M*K.Q:初始化物品特征矩阵K*N.latent_feature_cnt:隐特征的向量个数max_iteration:最大迭代次数alpha:步长lamda:正则化系数output分解之后的P和Q"""defLFM_grad_desc(rate_matrix,l
K近邻算法_分类鸢尾花数据集 _feivirus_ 算法机器学习和数学分类机器学习 K近邻
importnumpyasnpimportpandasaspdfromsklearn.datasetsimportload_irisfromsklearn.model_selectionimporttrain_test_splitfromsklearn.metricsimportaccuracy_score1.数据预处理iris=load_iris()df=pd.DataFrame(data=ir
数据结构 | 栈和队列 TT-Kun 数据结构与算法数据结构栈队列 C语言
文章目录栈和队列1.栈：后进先出（LIFO）的数据结构1.1概念与结构1.2栈的实现2.队列：先进先出（FIFO）的数据结构2.1概念与结构2.2队列的实现3.栈和队列算法题3.1有效的括号3.2用队列实现栈3.3用栈实现队列3.4设计循环队列结论栈和队列在计算机科学中，栈和队列是两种基本且重要的数据结构，它们在处理数据存储和访问顺序方面有着独特的规则和应用。本文将详细介绍栈和队列的概念、结构、实
骑昆明到北海—119 砚山县 61清风i
从十年前第一次长途骑行青海湖开始每年一次长途骑行看风景，尝各地美食，探访异域文化，记录途中美食美景美事，已逐渐形成习惯。每年春季详细规划好线路，夏季出行，2020年因为疫情迟迟不能确定线路和行程。总算到了暑期疫情逐渐消失，规划了50多天的云南昆明—广西北海计划。本次行程从云南昆明出发到广西北海市结束，五十一天骑行二千多公里线路昆明-官渡古镇-环滇池--澄江市一抚仙湖—路居镇--江川区--通海县—龙
系统架构设计师需求分析篇二 AmHardy 软件架构设计师系统架构需求分析面向对象分析分析模型 UML和SysML
面向对象分析方法1.用例模型构建用例模型一般需要经历4个阶段：识别参与者：识别与系统交互的所有事物。合并需求获得用例：将需求分配给予其相关的参与者。细化用例描述：详细描述每个用例的功能。调整用例模型：优化用例之间的关系和结构，前三个阶段是必需的。2.用例图的三元素参与者：使用系统的用户或其他外部系统和设备。用例：系统所提供的服务。通信关联：参与者和用例之间的关系，或用例与用例之间的关系。3.识别参
[Python] 数据结构详解及代码 AIAdvocate 算法 python 数据结构链表
今日内容大纲介绍数据结构介绍列表链表1.数据结构和算法简介程序大白话翻译,程序=数据结构+算法数据结构指的是存储,组织数据的方式.算法指的是为了解决实际业务问题而思考思路和方法,就叫:算法.2.算法的5大特性介绍算法具有独立性算法是解决问题的思路和方式,最重要的是思维,而不是语言,其(算法)可以通过多种语言进行演绎.5大特性有输入,需要传入1或者多个参数有输出,需要返回1个或者多个结果有穷性,执行
趁吾身未老逍遥书生111
趁吾身未老池非2020年，一场突如其来的新冠脑炎疫情，打破了原有的状态。工作与生活的轨迹发生了不确定的变化。01因为隔离防疫，正常的教学不能进行，线上网课成为教学的新形式，年过五十的我面对新的教学形式有些应不暇。只得退而求次，不再负责高考班级的课程。这样，就不用上网课做直播了。感觉很轻松很闲的同时，也感觉到了英雄迟暮。不得不承认，老了。该交班了。因为不能出门，整天呆在家里，一开始还很兴奋，终于可以
matlab mle 优化,MLE+: Matlab Toolbox for Integrated Modeling, Control and Optimization for Buildings... Simon Zhong matlab mle 优化
摘要：FollowingunilateralopticnervesectioninadultPVGhoodedrat,theaxonguidancecueephrin-A2isup-regulatedincaudalbutnotrostralsuperiorcolliculus(SC)andtheEphA5receptorisdown-regulatedinaxotomisedretinalgan
Python算法L5：贪心算法小熊同学哦 Python算法算法 python 贪心算法
Python贪心算法简介目录Python贪心算法简介贪心算法的基本步骤贪心算法的适用场景经典贪心算法问题1.**零钱兑换问题**2.**区间调度问题**3.**背包问题**贪心算法的优缺点优点：缺点：结语贪心算法（GreedyAlgorithm）是一种在每一步选择中都采取当前最优或最优解的算法。它的核心思想是，在保证每一步局部最优的情况下，希望通过贪心选择达到全局最优解。虽然贪心算法并不总能得到全
Android应用性能优化轻口味 Android
Android手机由于其本身的后台机制和硬件特点，性能上一直被诟病，所以软件开发者对软件本身的性能优化就显得尤为重要；本文将对Android开发过程中性能优化的各个方面做一个回顾与总结。Cache优化ListView缓存：ListView中有一个回收器，Item滑出界面的时候View会回收到这里，需要显示新的Item的时候，就尽量重用回收器里面的View；每次在getView函数中inflate新
《 C++ 修炼全景指南：九》打破编程瓶颈！掌握二叉搜索树的高效实现与技巧 Lenyiin C++修炼全景指南技术指南 c++算法 stl
摘要本文详细探讨了二叉搜索树（BinarySearchTree,BST）的核心概念和技术细节，包括插入、查找、删除、遍历等基本操作，并结合实际代码演示了如何实现这些功能。文章深入分析了二叉搜索树的性能优势及其时间复杂度，同时介绍了前驱、后继的查找方法等高级功能。通过自定义实现的二叉搜索树类，读者能够掌握其实际应用，此外，文章还建议进一步扩展为平衡树（如AVL树、红黑树）以优化极端情况下的性能退化。
圣诞节后的人气又回来了？好丽友、特斯拉们的生意却不好做| 每周热点汇总饭Sir看天下
新的一年来了大家好，今天是2022年12月26日，星期一，农历十二月初四。这个月，相信我们很多人都遇到了身体不适的情况，饭Sir上周也因为发烧不得不停更了一周，这几天才刚刚恢复，好在这一切最后都能过去。疫情之外，一些好消息也逐渐到来，例如北京等多座大城市在年底的圣诞节期间又恢复了生机，一些迹象也在预示着久违的热闹春节要回来了。但另一方面，明年不确定的经济形势又带来一些不利的消息，不禁让人有些担心。
windows下源码安装golang 616050468 golang安装 golang环境 windows
系统： 64位win7，开发环境：sublime text 2， go版本： 1.4.1 1. 安装前准备(gcc, gdb, git) golang在64位系
redis批量删除带空格的key bylijinnan redis
redis批量删除的通常做法： redis-cli keys "blacklist*" | xargs redis-cli del 上面的命令在key的前后没有空格时是可以的，但有空格就不行了： $redis-cli keys "blacklist*" 1) "blacklist:12: [email protected]
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2048源码(核心算法有，缺少几个anctionbar，以后补上) 不懂事的小屁孩 2048
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jquery内部链式调用机理换个号韩国红果果 JavaScript jquery
只需要在调用该对象合适(比如下列的setStyles)的方法后让该方法返回该对象（通过this 因为一旦一个函数称为一个对象方法的话那么在这个方法内部this（结合下面的setStyles）指向这个对象） function create(type){ var element=document.createElement(type); //this=element;
你订酒店时的每一次点击背后都是NoSQL和云计算蓝儿唯美 NoSQL
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程序员写代码时就不要管需求了吗？ asia007 程序员不能一味跟需求走
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Activity的四种启动模式百合不是茶 android 栈模式启动 Activity的标准模式启动栈顶模式启动单例模式启动
android界面的操作就是很多个activity之间的切换,启动模式决定启动的activity的生命周期 ; 启动模式xml中配置 <activity android:name=".MainActivity" android:launchMode="standard&quo
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JAX-WS SOAP Version 1.2 Part 0: Primer (Second Edition) SOAP Version 1.2 Part 1: Messaging Framework (Second Edition) SOAP Version 1.2 Part 2: Adjuncts (Second Edition) Which style of WSDL
【Hadoop二】Hadoop常用命令 bit1129 hadoop
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java异常处理（初级）白糖_ java DAO spring 虚拟机 Ajax
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记录整理-工作问题 braveCS 工作
1）那位同学还是CSV文件默认Excel打开看不到全部结果。以为是没写进去。同学甲说文件应该不分大小。后来log一下原来是有写进去。只是Excel有行数限制。那位同学进步好快啊。 2）今天同学说写文件的时候提示jvm的内存溢出。我马上反应说那就改一下jvm的内存大小。同学说改用分批处理了。果然想问题还是有局限性。改jvm内存大小只能暂时地解决问题，以后要是写更大的文件还是得改内存。想问题要长远啊
org.apache.tools.zip实现文件的压缩和解压，支持中文 bylijinnan apache
刚开始用java.util.Zip，发现不支持中文（网上有修改的方法，但比较麻烦）后改用org.apache.tools.zip org.apache.tools.zip的使用网上有更简单的例子下面的程序根据实际需求，实现了压缩指定目录下指定文件的方法 import java.io.BufferedReader; import java.io.BufferedWrit
读书笔记-4 chengxuyuancsdn 读书笔记
1、JSTL 核心标签库标签 2、避免SQL注入 3、字符串逆转方法 4、字符串比较compareTo 5、字符串替换replace 6、分拆字符串 1、JSTL 核心标签库标签共有13个，学习资料：http://www.cnblogs.com/lihuiyy/archive/2012/02/24/2366806.html 功能上分为4类： (1)表达式控制标签：out
[物理与电子]半导体教材的一个小问题 comsci 问题
各种模拟电子和数字电子教材中都有这个词汇-空穴书中对这个词汇的解释是; 当电子脱离共价键的束缚成为自由电子之后,共价键中就留下一个空位,这个空位叫做空穴我现在回过头翻大学时候的教材,觉得这个
Flashback Database --闪回数据库 daizj oracle 闪回数据库
Flashback 技术是以Undo segment中的内容为基础的，因此受限于UNDO_RETENTON参数。要使用flashback 的特性，必须启用自动撤销管理表空间。在Oracle 10g中， Flash back家族分为以下成员： Flashback Database， Flashback Drop，Flashback Query(分Flashback Query,Flashbac
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public void insertSort(int[] array){ int temp; for(int i=1;i<array.length;i++){ temp = array[i]; for(int k=i-1;k>=0;k--)
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# include <stdio.h> int main(void) { int * p; //等价于 int *p 也等价于 int* p; int i = 5; char ch = 'A'; //p = 5; //error //p = &ch; //error //p = ch; //error p = &i; //
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在java类库中，任务执行的主要抽象不是Thread，而是Executor，将任务的提交过程和执行过程解耦 public interface Executor { void execute(Runnable command); } public class RunMain implements Executor{ @Override pub
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前提是要配置好yum源版本icehouse，操作系统redhat6.5 最简化安装，不要cinder和swift 三个节点 172 control节点keystone glance horizon 173 compute节点nova 173 network节点neutron control /etc/sysctl.conf net.ipv4.ip_forward =
从c面向对象的实现理解c++的对象（二） jimmee C++面向对象虚函数
1. 类就可以看作一个struct，类的方法，可以理解为通过函数指针的方式实现的，类对象分配内存时，只分配成员变量的，函数指针并不需要分配额外的内存保存地址。 2. c++中类的构造函数，就是进行内存分配(malloc)，调用构造函数 3. c++中类的析构函数，就时回收内存(free) 4. c++是基于栈和全局数据分配内存的，如果是一个方法内创建的对象，就直接在栈上分配内存了。专门在
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第10章高级事件（中） onestopweb 事件
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计算两个经纬度之间的距离 roadrunners 计算纬度 LBS 经度距离
要解决这个问题的时候，到网上查了很多方案，最后计算出来的都与百度计算出来的有出入。下面这个公式计算出来的距离和百度计算出来的距离是一致的。 /** * * @param longitudeA * 经度A点 * @param latitudeA * 纬度A点 * @param longitudeB *
最具争议的10个Java话题 tomcat_oracle java
1、Java8已经到来。什么！？ Java8 支持lambda。哇哦，RIP Scala！　　随着Java8 的发布，出现很多关于新发布的Java8是否有潜力干掉Scala的争论，最终的结论是远远没有那么简单。Java8可能已经在Scala的lambda的包围中突围，但Java并非是函数式编程王位的真正觊觎者。　　2、Java 9 即将到来　　 Oracle早在8月份就发布
zoj 3826 Hierarchical Notation(模拟) 阿尔萨斯 rar
题目链接：zoj 3826 Hierarchical Notation 题目大意：给定一些结构体，结构体有value值和key值，Q次询问，输出每个key值对应的value值。解题思路：思路很简单，写个类词法的递归函数，每次将key值映射成一个hash值，用map映射每个key的value起始终止位置，预处理完了查询就很简单了。这题是最后10分钟出的，因为没有考虑value为{}的情

单纯形算法详细解析

0. 简介

1. 单纯形算法解析

1.1 基本概念及原理解析

1.1.1 线性规划标准形式

1.1.2 线性规划典范形式

1.1.3 凸组合和凸锥组合

1.1.4 极点和极方向

1.1.5 线性规划可行域的表示

1.1.6 线性规划基本定理

1.1.7 基本解与基本可行解

1.1.8 关于“退化”

1.2 “判优”规则

1.3 “改进”规则

1.4 “初始点”确定方法

1.4.1 两阶段法

1.4.2 大M法

1.5 单纯形算法中的几个问题

1.6 单纯形算法计算步骤图

2 单纯形算法计算案例

3 参考资料

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