动手学深度学习day1

Task01：线性回归；Softmax与分类模型、多层感知机

参加datawhale组队学习博客记录，严格意义上第一次写博客，希望以后养成好习惯。

线性回归

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。



梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。
首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。
我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。
最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向。 所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

Softmax与分类模型

softmax的基本概念

分类问题

一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
图像中的4像素分别记为 x1,x2,x3,x4 。
假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为 y1,y2,y3 。
我们通常使用离散的数值来表示类别，例如 y1=1,y2=2,y3=3 。

交叉熵损失函数

对于样本i ，我们构造向量y(i)∈Rq ，使其第y(i) （样本i 类别的离散数值）个元素为1，其余为0。这样我们的训练目标可以设为使预测概率分布y^(i) 尽可能接近真实的标签概率分布y(i) 。

平方损失估计

然而，想要预测分类结果正确，我们其实并不需要预测概率完全等于标签概率。例如，在图像分类的例子里，如果y(i)=3 ，那么我们只需要y^3(i) 比其他两个预测值y^1(i) 和y^2(i) 大就行了。即使y^3(i) 值为0.6，不管其他两个预测值为多少，类别预测均正确。而平方损失则过于严格，例如y^1(i)=y2(i)=0.2 比y^1(i)=0,y2(i)=0.4 的损失要小很多，虽然两者都有同样正确的分类预测结果。

改善上述问题的一个方法是使用更适合衡量两个概率分布差异的测量函数。其中，交叉熵（cross entropy）是一个常用的衡量方法：

其中带下标的yj(i) 是向量y(i) 中非0即1的元素，需要注意将它与样本i 类别的离散数值，即不带下标的y(i) 区分。在上式中，我们知道向量y(i) 中只有第y(i) 个元素y(i)y(i) 为1，其余全为0，于是H(y(i),y^{(i))=−log⁡y}y(i)(i) 。也就是说，交叉熵只关心对正确类别的预测概率，因为只要其值足够大，就可以确保分类结果正确。当然，遇到一个样本有多个标签时，例如图像里含有不止一个物体时，我们并不能做这一步简化。但即便对于这种情况，交叉熵同样只关心对图像中出现的物体类别的预测概率。

假设训练数据集的样本数为n ，交叉熵损失函数定义为

其中Θ 代表模型参数。同样地，如果每个样本只有一个标签，那么交叉熵损失可以简写成ℓ(Θ)=−(1/n)∑i=1nlog⁡y^y(i)(i) 。从另一个角度来看，我们知道最小化ℓ(Θ) 等价于最大化exp⁡(−nℓ(Θ))=∏i=1ny^y(i)(i) ，即最小化交叉熵损失函数等价于最大化训练数据集所有标签类别的联合预测概率。

模型训练和预测

在训练好softmax回归模型后，给定任一样本特征，就可以预测每个输出类别的概率。通常，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别（标签）一致，说明这次预测是正确的。在3.6节的实验中，我们将使用准确率（accuracy）来评价模型的表现。它等于正确预测数量与总预测数量之比。

获取Fashion-MNIST训练集和读取数据

在介绍softmax回归的实现前我们先引入一个多类图像分类数据集。它将在后面的章节中被多次使用，以方便我们观察比较算法之间在模型精度和计算效率上的区别。图像分类数据集中最常用的是手写数字识别数据集MNIST[1]。但大部分模型在MNIST上的分类精度都超过了95%。为了更直观地观察算法之间的差异，我们将使用一个图像内容更加复杂的数据集Fashion-MNIST[2]。

我这里我们会使用torchvision包，它是服务于PyTorch深度学习框架的，主要用来构建计算机视觉模型。torchvision主要由以下几部分构成：

torchvision.datasets: 一些加载数据的函数及常用的数据集接口；
torchvision.models: 包含常用的模型结构（含预训练模型），例如AlexNet、VGG、ResNet等；
torchvision.transforms: 常用的图片变换，例如裁剪、旋转等；
torchvision.utils: 其他的一些有用的方法。

多层感知机

多层感知机的基本知识

隐藏层

下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

具体来说，给定一个小批量样本 X∈Rn×d ，其批量大小为 n ，输入个数为 d 。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 h 。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为 H ，有 H∈Rn×h 。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 Wh∈Rd×h 和 bh∈R1×h ，输出层的权重和偏差参数分别为 Wo∈Rh×q 和 bo∈R1×q 。

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 O∈Rn×q 的计算为

HO=XWh+bh,=HWo+bo,

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

O=(XWh+bh)Wo+bo=XWhWo+bhWo+bo.

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 WhWo ，偏差参数为 bhWo+bo 。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
如：ReLu函数、Sigmoid函数、tanh函数

关于激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。