python求差分_数值偏微分方程-差分法（Python）
在前面的笔记里孤光一点萤：数值常微分方程-欧拉法与龙格-库塔法zhuanlan.zhihu.com
整理了常微分方程的一些数值解法。类似的方法可以拓展到解偏微分方程的问题，这里整理有限差分法的相关笔记。
计算机无法处理连续介质的无限多点，因此只能通过网格划分的方式，将带求解区域内连续分布的函数进行离散化，这样只用求解有限多的格点即可。同样地，在计算机里无法取极限求导数，只能通过离散化之后，用有限差商代替导数。由此，可以将带求解的偏微分方程转化为一组离散格点上的差分方程。解这组方程的问题，最终又归化为一个矩阵的求解问题，而矩阵求解这种“体力活”是计算机所擅长的。
由于我们使用划分的离散网格来近似连续的待求解空间，因此网格划分越密，求解越精确。同时，网格划分越密集，意味着最后得到的矩阵方程维度越高，计算量会非常庞大。这时候常用的高斯消元法(一个高斯消元的例子)往往会吃不消，需要使用松弛迭代法等。
首先，还是从单变量的方程开始。考虑函数
，其中
。将区间
分为N份，每一份就是步长
，则离散化后的格点坐标为：
。对于任意格点
：
一阶向前差分
一阶向后差分
一阶中心差分
由此可得：
一阶向前差商
一阶向后差商
一阶中心差商
二阶中心差商
现在拓展到二维情况：
例如对于方程
，待求解区域为正方形域
将待求解区域划分为矩形网格，每一个小矩形的长和宽(步长)分别为
和
，使用中心差商，可得：
对于这里的正方形区域，自然而然可以选取
，代入方程，得：
以此类推，可以得到对于点
，有：
这便是点
满足的差分方程，由于该方程包含点
及其上下左右一共5个点，也称为“五点差分格式”。
五点差分格式的截断误差为
阶。如果把左上、左下、右上、右下四个点也用上，为“九点差分格式”，误差可以降低到
阶。
为简便起见，这里以拉普拉斯方程
为例，则五点差分格式简化为：
在边界
上，
在划分网格时候要注意，如果划分网格为
个正方形格子，那么待求解的点有
个，因为区域边界上的点(即边界条件)是给定的，不用求。因此，给网格编号时候，从0开始编号再合适不过了，如下：
考虑第一个点
，根据五点差分格式，它的值由上下左右四个点确定，很显然，上、左分别为边界点
和
，右、下分为为点
和
，写为差分格式为：
第一列其他点同理，以此类推，如果将网格第
列上每个点的解记为：
，则最终可以写为：
其中
为
阶单位矩阵，
这里出现了一个迭代方程，想解
需要
，解
需要
......
然后把这一系列矩阵方程写成一个更大的矩阵方程：
把整个网格的每一列纵向连接为一个列向量：
则有：
，其中：
，
终于，我们把要求解的问题化简为了矩阵方程
的形式，可以方便地使用计算机求解，这里A是系数矩阵，列向量
便是问题的解。
对于上面的拉普拉斯方程，用Python求解：
为了方便，求解时直接使用了线性代数库
，这样计算的是矩阵方程的精确解，耗时有点长。可以用松弛迭代法来求数值解，有空再更。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
N=79 # 矩阵维数
Imat = -np.eye(N)/4
def Gmatrix(N): # 生成G矩阵
mtr = np.eye(N)
for i in range(0, N - 1):
mtr[i][i + 1] = -1 / 4
for i in range(1, N):
mtr[i][i - 1] = -1 / 4
return mtr
def zero_mat(N,m): # 生成m个横向连接N阶零矩阵,m>=1
zero_matrix = np.zeros((N,N))
for i in range(m-1):
zero_matrix = np.block([zero_matrix,np.zeros((N,N))])
return zero_matrix
def zero_arr(N, m): # 生成m个纵向连接N阶列向量,m>=1
zero_array = np.zeros((N,1))
for i in range(m-1):
zero_array = np.block([[zero_array],[np.zeros((N,1))]])
return zero_array
def Kmatrix(N,Gmat,Imat):
Kmar_list = []
for i in range(N):
if i == 0:
Kmat_line = np.block([np.block([Gmat, Imat]),zero_mat(N,N-2)])
Kmar_list.append(Kmat_line)
elif i == 1:
Kmat_line = np.block([Imat, Kmar_list[-1][:,:-N]])
Kmar_list.append(Kmat_line)
else:
Kmat_line = np.block([np.zeros((N,N)), Kmar_list[-1][:,:-N]])
Kmar_list.append(Kmat_line)
Kmat = Kmar_list[0]
for j in range(N-1):
Kmat = np.block([[Kmat],[Kmar_list[j+1]]])
return Kmat
def Barray(N): # 方程右边
barr = np.ones((N,1))/4
barr = np.block([[barr],[zero_arr(N,N-2)]])
barr = np.block([[barr],[np.ones((N,1))/4]])
return barr
Gmat = Gmatrix(N)
Kmat = Kmatrix(N,Gmat,Imat)
Barr = Barray(N)
Phi = np.linalg.solve(Kmat,Barr)
def trans(N,Phi):
# 把线性方程组解得的列矢量分割，从左到右排列转化为方矩阵，方便可视化
phi = Phi[0:N]
for i in range(N-1):
j = i+1
phi = np.block([phi,Phi[(j*N):((j+1)*N)]])
return phi
Phi = trans(N,Phi)
x = np.linspace(0,1,N)
y = np.linspace(0,1,N)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(X,Y,Phi,rstride=1,cstride=1,cmap=plt.get_cmap('rainbow'))
ax.contourf(X,Y,Phi,zdir='z',offset=1,cmap='rainbow')
plt.title('Difference methods for Laplace equation',fontsize='12')
plt.show()
作图如下：
通过控制作图参数里的offset，可以调整等高线的位置：
差分法求解的误差主要来自于差分公式对偏微分的近似替代，为了提高求解精度，可以把网格划分得更密，同时计算量也会显著增大。
Reference：
1、马文淦，《计算物理学》
2、李荣华，刘播，《微分方程数值解法》