River Chandler
River Chandler

普通物理拾遗----电磁学

01 两个均匀带电圆环中心处附近电场的均匀性研究 

  • 一个半径为R,线电荷密度为\lambda =q/2\pi R的均匀带电圆环，在它的轴线上任一点的电场强度为
    • E=\frac{\lambda RZ}{2\varepsilon _{0}(R^2+Z^2)^{3/2}}
  • 两个相距为a,半径为R，带电量分别为+q和-q的平行共轴圆环
    • E_{z}=\frac{\lambda R}{2\varepsilon _{0}}\left \{ \frac{a/2+Z}{[(a/2+Z)^2+R^2]^{3/2}}+\frac{a/2-Z}{[R^2+(a/2-Z)^2]^{3/2}} \right \}
    • \left ( \frac{\partial ^2E_{z}}{\partial Z^2} \right )=\frac{3\lambda Ra}{2\varepsilon _{0}}\frac{a^2/2-3R^2}{(R^2+a^2/4)^{7/2}}

  • 当a=\sqrt{6}R时，中心处的电场是均匀的

02 一个自感为L的线圈，等分为两个长度为/的线圈，再串连成一个线圈，连接后的线圈总自感

  •  回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感
    • \psi = \int _{s}BdS=LI
  • 毕奥萨伐尔定律的复习
    • dB=\frac{u_{0}}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \vec{r}}{r^3}=\frac{u_{0}}{4\pi }\frac{Idlsin\alpha }{r^2}
    • 载流直导线的磁场：B=\frac{u_{0}I}{4\pi a}(cos\alpha _{1}-cos\alpha _{2})
    • 无限长载流直导线的磁场：B=\frac{u_{0}I}{2\pi a}
    • 载流圆线圈轴上的磁场：B=\frac{u_{0}IR^2}{2(R^2+a^2)^{3/2}}
    • 通电螺线管：B=\frac{u_{0}nI}{2}(\frac{x_2}{\sqrt{x_{2}^2+R^2}}-\frac{x_1}{\sqrt{x_{1}^2+R^2}})
    • 无限长螺线管:B=u_{0}nI
  • 互感
    • I_{1}在I_{2}电流回路中所产生党的磁通量
      • \phi _{21}=M_{21}I_{1}
      • M_{12}=M_{21}=M=\frac{\phi _{21}}{I_{1}}=\frac{\phi _{12}}{I_{2}}
      • \begin{matrix} \varepsilon _{12}=-M\frac{dI_{2}}{dt}\\ \varepsilon _{21}=-M\frac{dI_1}{dt}\\ M=-\frac{\varepsilon _{21}}{dI_{1}/dt}=-\frac{\varepsilon _{12}}{dI_{2}/dt}\end{matrix}
  • 自感
    • 横截面积可以忽略的导线绕成的线圈
      • \varepsilon =-\frac{d\psi }{dt}=-L\frac{dI}{dt}\begin{matrix} \end{matrix}
      • L=\phi /I
      • 无限长直密绕螺线管的自感L=u_{0}n^2V

 03 载流密绕直螺线管

 载流圆线圈轴上的磁场，运用毕奥萨伐尔定律积分

B=\int \frac{u_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \vec{r}}{r^3}=\frac{u_0I}{4\pi }r\times 2\pi r/r^3

B=\frac{u_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}

载流密绕直螺线管轴上的磁场

B=\frac{u_0nI}{2}(\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+R^2}}-\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}})

\left ( x_1<0;x_2>0;B(x=0) \right )

会用到磁矩的知识

平面载流线圈的磁矩：\vec{p}=I\vec{S}

螺线管方程

  • \left\{\begin{matrix} x=CRcos\varphi \\ y=CRsin\varphi \\ z=k\varphi \end{matrix}\right.
  • 那么，在轴线上偏离原点h处的矢势,这里我们取螺线管轴线的中点为坐标原点
  • \left\{\begin{matrix} A_x=-\frac{u_0I}{4\pi }\oint \frac{asin\varphi d\varphi }{[R^2+(k\varphi -h)^2]^{\frac{3}{2}}}\\ A_y=\frac{u_0I}{4\pi }\oint \frac{acos\varphi d\varphi }{[R^2+(k\varphi -b)^2]^{\frac{1}{2}}}\\ A_z=\frac{u_0I}{4\pi }\oint \frac{kd\varphi }{[R^2+(k\varphi -b)^2]^{\frac{1}{2}}} \end{matrix}\right.
  • \varphi _1=-N\pi -\frac{b}{c}
  • \varphi _2=N\pi -\frac{b}{c}
  • \vec{B}=\bigtriangledown \times \vec{A}
  • \vec{B}=\left\{\begin{matrix} B_x=\frac{u_0I}{4\pi }\int_{\varphi _1}^{\varphi _2}\frac{Rk(\varphi cos\varphi -sin\varphi )-ahcos\varphi }{[R^2+(k\varphi -h)^2]^{\frac{3}{2}}}d\varphi \\ B_y=\frac{u_0I}{4\pi }\int_{\varphi _1}^{\varphi _2}\frac{Rk(\varphi cos\varphi -sin\varphi )-ahsin\varphi }{[R^2+(k\varphi )^2]^{\frac{3}{2}}}d\varphi \\ \\ \frac{u_0I}{4\pi } \left \{ \frac{k\varphi _2}{[R^2+(k\varphi _2-h)^2]^{\frac{1}{2}}}-\frac{k\varphi _1}{[R^2+(k\varphi _1-h)^2]^{\frac{1}{2}}} \right \}\end{matrix}\right.

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