DFS剪枝优化：小猫爬山

问题描述

翰翰和达达饲养了$N$只小猫，这天，小猫们要去爬山。

经历了千辛万苦，小猫们终于爬上了山顶，但是疲倦的它们再也不想徒步走下山了（呜咕>_<）。

翰翰和达达只好花钱让它们坐索道下山。

索道上的缆车最大承重量为$W$，而N只小猫的重量分别是$C_1$、$C_2$……$C_N$。

当然，每辆缆车上的小猫的重量之和不能超过$W$。

每租用一辆缆车，翰翰和达达就要付$1$美元，所以他们想知道，最少需要付多少美元才能把这$N$只小猫都运送下山？

输入格式

第1行：包含两个用空格隔开的整数，$N$和$W$。

第2…$N+1$行：每行一个整数，其中第$i+1$行的整数表示第$i$只小猫的重量$C_i$。

数据范围：

$1\le N\le 18$ ,$1\le C_i\le W\le 10^8$

输出格式

输出一个整数，表示最少需要多少美元，也就是最少需要多少辆缆车。

输入样例

5 1996
1
2
1994
12
29

输出样例

2

算法思想（DFS + 剪枝）

对每只小猫来说要么安排在已有的缆车中，要么安排到新的缆车中。所以考虑如下搜索顺序：

1. 遍历已经安排的缆车，尝试将小猫放入
2. 将小猫放入新缆车

确定了搜索顺序，再考虑如何对搜索过程进行优化，这就是涉及到了DFS的剪枝技巧。

DFS常用剪枝技巧

1. 优化搜索顺序，大部分情况下，优先搜索分支较少的结点。配合最优性剪枝，可以大大提高搜索效率。对于本题来说，优先安排体重大的小猫，这样产生的分支结点少。
2. 排除等效冗余，例如搜索组合数，不考虑搜索顺序，排除重复搜索
3. 可行性剪枝，例如每辆缆车中的小猫重量不能超过其载重量
4. 最优性剪枝。在搜索过程中，如果发现该分支的结果不优于目前最优解，则可以结束对当前分支的搜索。
5. 记忆化搜索，在搜索过程中记录搜索结果，避免重复计算。

代码实现

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20;
int n, m, ans = N;
//w[i]表示第i只小猫的重量
//sum[i]表示第i个缆车的重量
int w[N], sum[N];

//t表示当前搜索到的小猫
//k表示目前已经安排的缆车数量
void dfs(int t, int k)
{
    //最优性剪枝
    if(k >= ans) return;
    
    if(t == n)
    {
        ans = k;
        return;
    }
    
    //将当前的小猫安排在已有缆车中
    for(int i = 0; i < k; i++)
    {
        //如果当前小猫的重量 + 缆车i的重量 超过了 缆车的承重
        //可行性剪枝
        if(w[t] + sum[i] <= m)
        {
            sum[i] += w[t];
            dfs(t + 1, k);
            sum[i] -= w[t];
        }
    }
    
    //将当前的小猫安排在新缆车中
    //注意：k的编号是从0开始的，所以这里将小猫安排在新缆车k中
    sum[k] = w[t];
    dfs(t + 1, k + 1);
    //恢复现场
    sum[k] = 0;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];
    
    //按小猫体重从大到小排序
    //优化搜索顺序，优先搜索分支较少的结点
    sort(w, w + n);
    reverse(w, w + n);
    
    dfs(0, 0);
    
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}