unity3d 求两个点长度_一道中考数学压轴题,求周长最小值和面积,教材中基本模型的变式...

一、问题如下:

如图所示抛物线y=ax^2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC。

(1)求抛物线的解析式及其对称轴;

(2)点D,E是直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值;

(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标.

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本题图

二、问题分析:

本题共三问,第一问考察二次函数的基础知识,很常规,也简单。

1.第二问是动点问题,求四边形的周长最小值,因为题目中对称轴上的D、E两点都在运动,学生在确定最小周长时往往不知道怎么作图,有一点难度。

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从题意不难看出,D、E两点虽然都是动点,但在运动过程中,DE的长度始终为1,因此求四边形ACDE周长的最小值实际上就是求线段CD与线段AE和的最小值。

关于最短距离问题,运用的基本几何原理有:"垂线段最短"、"两点之间线段最短"、"夹在两平行线之间的垂线段最短"等等,本题中我们只要想办法把线段CD和线段AE转化到一条线段上去,运用"两点之间线段最短"的几何原理就可以轻松解决。如何转化?教材中关于"最短路径"问题的阅读材料是有基础模型可用的。

  • 模型一:河边饮水问题
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河边饮水问题模型

  • 模型二:河边造桥选址问题
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河边造桥选址问题模型

本题与河边造桥选址问题相似。河边造桥选址问题中难点在于对河面宽度(固定宽度MN)的处理,须先将A点向下平移MN的长度,再与B点连接,同样运用两点之间线段最短的原理。本题在确定点D的位置实际是河边饮水问题与造桥选址两个问题的组合,可先作出C点关于对称轴的对称点,再将A点向上平移DE的长度,再连接两点的线段与对称轴的交点即为周长最小时的D点。当然也可以将C点向下平移DE的长度后与点B相连,因为点B本身就是A的对称点。如下图:

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辅助线的作法(方法不唯一)

2. 第三问是一个面积比问题,难点在于如何计算△ABP和△ACP的面积,平面直角坐标系中关于三角形面积的计算实际是有快捷方法的,我总结为S△=1/2×水平宽×铅高。图示如下:

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第三问图

本题在解决的时候同样可用到S△=1/2×水平宽×铅直高的方法,即S△PBC=1/2×BM×|yc-yp|,S△PBC=1/2×AM×|yc-yp|,那么两个三角形的面积之比就可以转化为两条线段之比,再分两种情况讨论,先求出点M的坐标,再求出点P的坐标。

三、总结一下

中考数学压轴题通常有一定难度,而且均与二次函数有关,具有一定的选拔功能,命题者在考察基础知识的同时,也要考察数学模型的变式运用,因此无论是教还是学,都要重视基本的数学模型,才可能快速解决中考数学的压轴题。


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