离散数学- 第二章 命题逻辑的推理理论

¬，∧，∨，→，↔

第二章 命题逻辑的推理理论

学习目标：

1、理解简单合取式、简单析取式的概念。

命题变元及其否定统称为文字。
仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。

例如：P，¬Q，P∨¬P，¬P∨Q，¬P∨¬Q∨¬R

仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。

例如：P，¬Q，P∧¬P，¬P∧Q，¬P∧¬Q∧¬R

简单析取式和简单合取式有以下性质：

一个简单析取式是重言式，当且仅当它同时含某个命题变元及他的否定式。
例如：P∨¬P∨¬Q∨R ⇔ T∨¬Q∨R  ⇔ T
一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它同时含某个命题变元及他的否定式。
例如：P∧¬P∧¬Q∧R ⇔ F∧¬Q∧R  ⇔ F

2、理解范式、小项、大项、主范式的概念。

5、掌握小项及大项的性质。

一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A1∧A2∧A3∧…∧An(n>=1),其中A1,A2,A3…An都是简单析取式。

例如：（P∨¬P） ∧ （Q∨¬R ） ∧ （¬Q∧¬R）是一个合取范式。

一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A1∨A2∨A3∨…∨An(n>=1),其中A1,A2,A3…An都是简单合取式。

例如：（P∧¬P） ∨ （Q∧¬R ） ∨ （¬Q∧¬R）是一个析取范式。

小项：

n 个命题变元的简单合取式，称作布尔合取或极小项，简称为小项，其中每个命题变元与它的否定不能同时存在，但该命题变元必须出现且仅出现一次，或以变元的形式，或以变元的否定形式。

真值表：

性质：

1、每个小项有一个成真赋值，有2^n成假赋值。每个小项成真赋值均不同。
2、任意两个小项的合取式为矛盾式。
3、全体小项的析取式为重言式。

大项：

n 个命题变元的简单析取式，称作布尔析取或极大项，简称为大项，其中每个命题变元与它的否定不能同时存在，但该命题变元必须出现且仅出现一次，或以变元的形式，或以变元的否定形式。

性质：

1、每个小项有一个成假赋值，有2^n成真赋值。每个小项成假赋值均不同。
2、任意两个大项的析取式为重言式。
3、全体大项的合取式为矛盾式。

3、能够求出所给命题公式的析取范式及合取范式。

主范式包括主析取范式和主合取范式。
主析取范式：

定义1：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析取范式。
定理1-1：在公式的真值表中，所有真值为T的指派所对应的小项的析取，即构成该公式的主析取范式。
定理1-2：任何命题公式都存在与之等值的主析取范式，并且是唯一的。

主合取范式：

定义1：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。
定理1-1：在公式的真值表中，所有真值为F的指派所对应的大项的合取，即构成该公式的主合取范式。
定理1-2：任意含有n个命题变元的公式A，都存在与之等值的主合取范式，并且是唯一的。

结论：

(1)若 A 可化为与其等价的含 2^n个小项的主析取范式，则4为重言式。
(2)若 A 可化为与其等价的含 2^n个大项的主合取范式，则A 为矛盾式。
(3)若 A 的主析取范式中至少含有一个小项，或 A 的主合取范式中最多含有 2^n-1个大项，则 A 为可满足式。

4、能够使用真值表法和等值演算法求所给命题公式的主范式。

6、了解有效结论的概念。

7、理解推理的概念，掌握推理中的形式证明方法（包括真值表法、主范式方法和推理法等），能正确地进行推理。

推理： 所谓推理是指从前提出发推导出结论的思维过程，而数理逻辑中的推理则特指用数学的方法来精确表示这个过程。

8、熟记等值公式表和蕴涵公式表。