5.3 Hessenberg法求特征值

文章目录

1 Gram-Schmidt正交化的缺点
2 Hessenberg矩阵
3 Household reflector
4 u向量的选择
5 海森堡化简(Hessenberg reduction)
6 Givens rotation
7 多次Givens rotation（QR）
8 循环QR直至收敛
9 Python实现
10 代码测试

1 Gram-Schmidt正交化的缺点

Gram-Schmidt正交化算法，有以下两个缺点：
1、每一步正交分解的算法复杂度都是 $O(n^3)$ ，而且收敛到舒尔分解需要QR分解几次，乐观的情况下都需要n次。那么总体复杂度就是 $O(n^4)$ 。
2、实践证明，当几个特征值特别接近时，收敛得特别慢，也就是说需要很多步骤才能收敛到舒尔分解。这种情况下算法复杂度就很恐怖了。

2 Hessenberg矩阵

Hessenberg矩阵得名于Karl Hessenberg，柏林大学博士。

Hessenberg矩阵译为海森堡矩阵，是下对角线以下为0的矩阵。举个例子：
$\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& 1&1\\ 1 & 1& 1& 1&1\\ 0 & 1& 1& 1&1\\ 0 & 0& 1& 1&1\\ 0 & 0& 0& 1&1\\ \end{pmatrix}$
Hessenberg法求特征值分两步，第一步是通过有限次Household reflector变换得到海森堡阵，但是我们知道海森堡阵不是拟上三角矩阵，不能用于求特征值。但是海森堡阵是原矩阵的相似矩阵。然后用一个双层循环求出相似的拟上三角矩阵，外层循环是QR分解，内层循环是Givens rotation。等于是说多次QR分解才能得到相似的拟上三角矩阵，但是每次QR分解都要执行很多次Givens旋转。得到拟上三角矩阵后，结果就出来了。

3 Household reflector

Household反射是这样子的(图片来自瑞典皇家理工学院)：

图中u是长度为1的向量。x是任意向量，P是u的Household reflector。可见无论x是什么向量， $P x$ 始终除于和u正交的平面上。P和u的关系是：
$P=I-2uu^*$
$u^*$ 是u的共轭矩阵。

4 u向量的选择

知道了啥是海森堡矩阵，啥是Household反射以后，我们就要选择u向量了。u向量由以下公式给出，公式中的sign函数是取符号函数，也就是正数返回1，负数返回-1：
$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}\\ \rho=−sign(x_1)\\ z=\begin{pmatrix}x_1-\rho \| x \| \\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}\\ u=\frac z {\|z\|}$

5 海森堡化简(Hessenberg reduction)

海森堡化简的方法是Household reflector。怎么个化简法呢？按以下步骤：
先计算 $P_1$ ，按如下方法：
$P_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&I-2u_1u_1^T\end{pmatrix}\\ A_1=P_1AP_1\\ \vdots\\ A_{n-2}=P_{n-2}A_{n-1}P_{n-2}$
P的通项公式如下：
$P_i = \begin{pmatrix} I&0\\ 0 & I-2u_iu_i^T \end{pmatrix}$
需要注意的是u向量的选择问题。每次选择，u向量的长度都越来越短。假如是矩阵的第一列，u向量来源于这个向量x：
$x_1=\begin{pmatrix} A_{2,1}\\ A_{3,1}\\ A_{4,1}\\ \vdots\\ A_{n,1} \end{pmatrix}$
而 $x$ 向量的通项公式如下：
$x_i=\begin{pmatrix} A_{i+1,1}\\ A_{i+2,1}\\ A_{i+3,1}\\ \vdots\\ A_{n,1} \end{pmatrix}$
$A_{n-2}$ 就是和A相似的海森堡矩阵。海森堡矩阵用Gram-Schmidt法QR分解后，RQ的结果还是个海森堡矩阵，永远结束不了QR分解循环。
我举个例子：
$A_0=\begin{pmatrix}2.0 & 1.0 & -1.0 & 11.0 & 16.0\\ 1.0 & 2.0 & -1.0 & 3.0 & 17.0\\ -1.0 & -1.0 & 2.0 & 4.0 & -4.0\\ 7.0 & 10.0 & 9.0 & 5.0 & -5.0\\ 8.0 & 11.0 & 6.0 & 12.0 & -6.0\\ \end{pmatrix}\\ A_1= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.732 & -1.122 & 2.146\\ -10.724 & 4.061 & -11.698 & -0.734 & 18.797\\ 0.0 & -0.966 & 2.895 & 4.444 & -4.01\\ 0.0 & 11.706 & 2.572 & 3.055 & -3.602\\ 0.0 & 9.129 & -1.02 & 7.495 & -7.01\\ \end{pmatrix}\\ A_2= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.386 & -0.867 & 2.345\\ -10.724 & 4.061 & 11.717 & -18.036 & 5.305\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & 6.88 & -6.747\\ 0.0 & 0.0 & -0.076 & 4.253 & 0.758\\ 0.0 & 0.0 & 1.583 & 4.98 & -6.3\\ \end{pmatrix}\\ A_3= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.386 & 2.384 & -0.754\\ -10.724 & 4.061 & 11.717 & 6.163 & -17.761\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & -7.069 & 6.549\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\$

6 Givens rotation

首先假设 $c^2+s^2=1$ ，这就是一个圆的方程，所以 $c=\cos(\theta),s=\sin(\theta)$ 。假设 $i, j$ 是矩阵A的两行， $e_i,e_j$ 是矩阵A的这两行舒尔分解后的两个特征向量。Givens rotation可以翻译为Givens旋转，是一个旋转矩阵，定义如下：
$G(i,j,c,s)=I+(\cos(\theta)-1)e_ie_i^T-\cos(\theta)e_ie_j^T+se_je_j^T+(\cos(\theta)-1)e_je_j^T\\ =\begin{pmatrix} I & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & I & 0 & 0\\ 0 & \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & I \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} I & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & c & 0 & -s & 0 \\ 0 & 0 & I & 0 & 0\\ 0 & s & 0 & c & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & I \end{pmatrix}$
公式中的矩阵的 $\cos(\theta)$ 和 $-\sin(\theta)$ 位于第 $i$ 行，同理 $\sin(\theta)$ 和 $\cos(\theta)$ 位于第j行。Givens旋转的几何意义如下，图片来自KTH（瑞典皇家理工学院）：

图中 $e_i$ 和 $e_j$ 是两个特征向量， $G$ 将x在 $e_i$ 和 $e_j$ 组成的向量空间（平面）上逆时针旋转了 $\theta$ 。

7 多次Givens rotation（QR）

我们已经得到了一个Hessenberg矩阵，现在就是对Hessenberg矩阵进行QR分解了，然后得到和Hessenberg矩阵相似的矩阵。这个矩阵就是我们想要的求特征值矩阵。在前面说过，对Hessenberg进行Gram-Schmidt分解，得到的还是Hessenberg矩阵，那怎么办呢？
对Hessenberg矩阵进行N次Givens旋转，假设i为Givens旋转的次数，第一次旋转 $i = 1$ ，原始Hessenberg矩阵为 $H$ ,将 $H$ 赋值给 $H_1$ ，对于Hessenberg矩阵的QR分解公式如下：
$H_1=H\\ r_i=\sqrt{(H_i)_{i,i}^2+(H_i)_{i+1,i}^2}\\ c=\cos(\theta)=\frac{(H_i)_{i,i}}{r_i}\\ s=\sin(\theta)=\frac{(H_{i+1})_{i,i}}{r_i}\\ G_i=G(i,i+1,c,s)\\ H_{i+1}=G_i^TH_i\\ H=（\prod_{i=1}^{n-1}G_i）H_n=QR\\ Q=\prod_{i=1}^{n-1}G_i\\ R=H_n\\ H'=RQ$
得到的 $H^{'}$ 与原先的Hessenberg矩阵 $H$ 相似。但是这个RQ不一定是拟上三角矩阵。这个公式是如此地复杂，我同样建议收藏本文，不要记忆，不要记忆，不要记忆！重要的事情说三遍。
举个例子：
$\begin{pmatrix}2.0 & 1.0 & -1.0 & 11.0 & 16.0\\ 1.0 & 2.0 & -1.0 & 3.0 & 17.0\\ -1.0 & -1.0 & 2.0 & 4.0 & -4.0\\ 7.0 & 10.0 & 9.0 & 5.0 & -5.0\\ 8.0 & 11.0 & 6.0 & 12.0 & -6.0\\ \end{pmatrix}\\ H= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.386 & 2.384 & -0.754\\ -10.724 & 4.061 & 11.717 & 6.163 & -17.761\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & -7.069 & 6.549\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ H_1= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.386 & 2.384 & -0.754\\ -10.724 & 4.061 & 11.717 & 6.163 & -17.761\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & -7.069 & 6.549\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ G_1= \begin{pmatrix}0.183 & 0.983 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ -0.983 & 0.183 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0\\ \end{pmatrix}\\ H_2= \begin{pmatrix}10.909 & -7.531 & -11.448 & -5.621 & 17.322\\ 0.0 & -18.231 & 2.528 & 3.473 & -3.997\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & -7.069 & 6.549\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ G_2= \begin{pmatrix}1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & -0.775 & -0.632 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.632 & -0.775 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0\\ \end{pmatrix}\\ H_3= \begin{pmatrix}10.909 & -7.531 & -11.448 & -5.621 & 17.322\\ 0.0 & 23.53 & -1.335 & -7.16 & 7.237\\ 0.0 & 0.0 & -2.362 & 3.281 & -2.547\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ G_3= \begin{pmatrix}1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & -0.83 & -0.557 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.557 & -0.83 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0\\ \end{pmatrix}\\ H_4= \begin{pmatrix}10.909 & -7.531 & -11.448 & -5.621 & 17.322\\ 0.0 & 23.53 & -1.335 & -7.16 & 7.237\\ 0.0 & 0.0 & 2.844 & -6.374 & 4.601\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 3.611 & -2.286\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ G_4= \begin{pmatrix}1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0 & 0.0\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.998 & -0.066\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.066 & 0.998\\ \end{pmatrix}\\ Q= \begin{pmatrix}0.183 & -0.762 & 0.516 & 0.346 & -0.023\\ -0.983 & -0.142 & 0.096 & 0.064 & -0.004\\ 0.0 & 0.632 & 0.643 & 0.431 & -0.029\\ 0.0 & 0.0 & 0.557 & -0.829 & 0.055\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.066 & 0.998\\ \end{pmatrix}\\ R= \begin{pmatrix}10.909 & -7.531 & -11.448 & -5.621 & 17.322\\ 0.0 & 23.53 & -1.335 & -7.16 & 7.237\\ 0.0 & 0.0 & 2.844 & -6.374 & 4.601\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 3.619 & -1.982\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 4.645\\ \end{pmatrix}\\$

8 循环QR直至收敛

这个与Gram-Schmidt法类似，直到得出拟上三角矩阵。我简单举个例子：
$\begin{pmatrix}2.0 & 1.0 & -1.0 & 11.0 & 16.0\\ 1.0 & 2.0 & -1.0 & 3.0 & 17.0\\ -1.0 & -1.0 & 2.0 & 4.0 & -4.0\\ 7.0 & 10.0 & 9.0 & 5.0 & -5.0\\ 8.0 & 11.0 & 6.0 & 12.0 & -6.0\\ \end{pmatrix}\\ H_0= \begin{pmatrix}2.0 & -19.303 & 0.386 & 2.384 & -0.754\\ -10.724 & 4.061 & 11.717 & 6.163 & -17.761\\ 0.0 & 14.876 & 0.986 & -7.069 & 6.549\\ 0.0 & 0.0 & 1.585 & -6.55 & 4.462\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.24 & 4.503\\ \end{pmatrix}\\ H_1= \begin{pmatrix}9.403 & -14.477 & -5.593 & 4.159 & 17.083\\ -23.131 & -4.187 & -2.584 & 7.354 & 6.764\\ 0.0 & 1.798 & -1.722 & 6.812 & 4.159\\ 0.0 & 0.0 & 2.016 & -3.13 & -1.778\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.308 & 4.635\\ \end{pmatrix}\\ H_2= \begin{pmatrix}10.861 & -22.344 & -5.631 & -2.116 & 0.441\\ -13.984 & -4.941 & -8.713 & -2.546 & -17.565\\ 0.0 & 0.377 & -7.401 & -4.76 & -5.441\\ 0.0 & 0.0 & 1.537 & 2.258 & 2.956\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.544 & 4.224\\ \end{pmatrix}\\ H_3= \begin{pmatrix}18.604 & -7.906 & -3.359 & 6.916 & 12.417\\ -16.333 & -12.507 & -9.063 & 8.736 & 7.467\\ 0.0 & 0.141 & -6.55 & 8.487 & 2.976\\ 0.0 & 0.0 & 0.272 & 2.547 & 2.505\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.26 & 2.907\\ \end{pmatrix}\\ H_4= \begin{pmatrix}17.079 & -18.036 & -3.649 & 1.374 & 4.205\\ -9.643 & -10.896 & -9.513 & -15.274 & -8.377\\ 0.0 & 0.064 & -6.984 & -8.721 & 0.517\\ 0.0 & 0.0 & 0.129 & 4.318 & 2.017\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.645 & 1.482\\ \end{pmatrix}\\ H_5= \begin{pmatrix}22.167 & -0.627 & -1.341 & 9.822 & 6.35\\ -9.025 & -15.949 & -9.876 & 13.429 & 3.209\\ 0.0 & 0.025 & -6.856 & 8.794 & -1.832\\ 0.0 & 0.0 & 0.077 & 4.497 & 1.558\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.177 & 1.141\\ \end{pmatrix}\\ H_6= \begin{pmatrix}20.118 & -14.053 & -2.459 & 4.237 & 4.512\\ -5.659 & -13.884 & -9.845 & -16.212 & -4.749\\ 0.0 & 0.011 & -6.971 & -8.614 & 2.173\\ 0.0 & 0.0 & 0.052 & 4.657 & 1.402\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.042 & 1.08\\ \end{pmatrix}\\ H_8= \begin{pmatrix}22.763 & 3.744 & -0.233 & 8.522 & 5.552\\ -4.65 & -16.523 & -10.042 & 14.557 & 3.22\\ 0.0 & 0.005 & -6.913 & 8.69 & -2.239\\ 0.0 & 0.0 & 0.034 & 4.606 & 1.386\\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.01 & 1.067\\ \end{pmatrix}\\$
特征值为 $22.315, - 16.075, 4.631, - 6.938, 1.067$ 。

9 Python实现

这么复杂的代码，不愿拿Java写，为了省时间，就python了：

# _*_ coding:utf-8 _*_

import math
import cmath

MIN_VALUE = 1e-2


def round_num(x):
    if isinstance(x, complex):
        return complex(round_num(x.real), round_num(x.imag))
    return round(x * 1000) / 1000.0


class Matrix:
    # 矩阵，为了方便计算，二维数组的每个一维数组表示一个向量，也就是一列
    # 所以看起来会比较奇怪
    def __init__(self, lines):
        self.__lines = lines

    def __mul__(self, other):
        if len(self.__lines) != len(other.__lines[0]):
            raise Exception("矩阵A列数%d != 矩阵B的行数%d" % (len(self.__lines[0]), len(other.__lines)))
        # 弄一个m行n列的新矩阵
        m = len(self.__lines[0])
        n = len(other.__lines)
        p = len(other.__lines[0])

        result = [[0] * n for _ in range(0, m)]
        # i 代表self的行
        for i in range(0, m):
            # j 代表 B 矩阵的列
            for j in range(0, n):
                # 第一个矩阵的行 与第二个矩阵列的乘积和
                # k 代表 A矩阵的列和B矩阵的行
                for k in range(0, p):
                    mul = self.__lines[k][i] * other.__lines[j][k]
                    result[j][i] += mul
        return Matrix(result)

    def __str__(self):
        s = ''
        rows = len(self.__lines)
        columns = len(self.__lines[0])
        for i in range(0, columns):
            s += "|"

            for j in range(0, rows):
                if j > 0:
                    s += '\t'
                s += str(round(self.__lines[j][i] * 1000) / 1000)

            s += "\t|\n"
        return s

    def eigen_values(self):
        h = self.to_hessenberg()
        while not h.is_upper_triangle():
            q, r = h.givens_rotations()
            h = r * q
        return h.__eigen_values()

    def is_upper_triangle(self):
        for i in range(len(self.__lines)):
            vector = self.__lines[i]
            for j in range(i + 1, len(vector)):
                e = vector[j]
                if abs(e) > MIN_VALUE:
                    if j > i + 1:
                        return False
                    # 这时候再判断是不是拟三角矩阵
                    # 如果左上角是不是0
                    if i > 0 and abs(self.__lines[i - 1][j - 1]) > MIN_VALUE:
                        return False
                    # 如果右下角是不是0
                    if i < len(self.__lines) - 1 and abs(self.__lines[i + 1][j + 1]) > MIN_VALUE:
                        return False
        return True

    def __eigen_values(self):
        eigen_values = [0 for _ in self.__lines]
        for i, vector in enumerate(self.__lines):
            # 如果左边不是0，那么求过了
            if i > 0 and abs(self.__lines[i - 1][i]) > MIN_VALUE:
                continue
            # 如果是下一个元素不是0
            if i < len(self.__lines) - 1 and abs(vector[i + 1]) > MIN_VALUE:
                # 按求根公式计算
                a = vector[i]
                b = self.__lines[i + 1][i]
                c = vector[i + 1]
                d = self.__lines[i + 1][i + 1]
                root = a * a + d * d - 2 * a * d + 4 * b * c
                if root > 0:
                    sqrt = math.sqrt(root)
                else:
                    sqrt = cmath.sqrt(root)
                a_d = a + d
                eigen_values[i] = round_num((a_d + sqrt) / 2)
                eigen_values[i + 1] = round_num((a_d - sqrt) / 2)
            else:
                eigen_values[i] = round(vector[i] * 1000) / 1000.0

        return eigen_values

    def givens_rotations(self):
        h = self
        n = len(self.__lines)
        q = None
        for i in range(0, n - 1):
            g, h = h.givens_rotation(i)
            q = g if q is None else q * g
        return q, h

    def givens_rotation(self, i):
        vector = self.__lines[i]
        n = len(self.__lines)
        j = i + 1
        r = math.sqrt(vector[i] ** 2 + vector[j] ** 2)
        c = vector[i] / r
        s = vector[j] / r
        g = Matrix.identity_matrix(n)
        g.__lines[i][i] = c
        g.__lines[i][j] = s
        g.__lines[j][i] = -s
        g.__lines[j][j] = c
        g_t = Matrix.identity_matrix(n)
        g_t.__lines[i][i] = c
        g_t.__lines[i][j] = -s
        g_t.__lines[j][i] = s
        g_t.__lines[j][j] = c
        h = g_t * self
        return g, h

    def to_hessenberg(self):
        n = len(self.__lines)
        a = self
        for i in range(0, n - 2):
            p = a.household_reflector(i)
            a = p * a * p
        return a

    def household_reflector(self, i):
        j = i + 1
        column = self.__lines[i]
        rho = 1 if column[j] < 0 else -1
        z = [column[k] for k in range(j, len(column))]
        # 长度必须两次运算，因为第一个元素已经改变
        z[0] = z[0] - rho * Matrix.length(z)
        z_length = Matrix.length(z)
        u = [e / z_length for e in z]
        # 对u进行转置
        ut = [[e] for e in u]
        n = len(self.__lines)
        p_array = Matrix.identity_matrix(n)
        # 生成每一个向量
        # 对于i左边的就是矩阵I
        sub_matrix = Matrix([u]) * Matrix(ut)
        sub_p = sub_matrix.__lines
        # i 和 i以后的需要处理
        # 这里需要仔细处理
        # 对于i = 0, j = 1
        for k in range(j, n):
            for row in range(j, n):
                # k 以1开始
                p_array.__lines[k][row] = p_array.__lines[k][row] - 2 * sub_p[k - j][row - j]
        return p_array

    @staticmethod
    def length(vector):
        return math.sqrt(Matrix.square(vector))

    @staticmethod
    def square(vector):
        return Matrix.dot(vector, vector)

    @staticmethod
    def dot(vector1, vector2):
        l = 0
        for i in range(0, len(vector1)):
            l += vector1[i] * vector2[i]
        return l

    @staticmethod
    def identity_matrix(n):
        p_array = [None] * n
        # 生成每一个向量
        for k in range(0, n):
            # 创建数组
            p_array[k] = [1 if e == k else 0 for e in range(0, n)]
        return Matrix(p_array)

    def to_latex(self):
        s = '\\begin{pmatrix}'
        rows = len(self.__lines)
        columns = len(self.__lines[0])
        for i in range(0, columns):
            for j in range(0, rows):
                if j > 0:
                    s += ' & '
                s += str(round(self.__lines[j][i] * 1000) / 1000)
            s += "\\\\\n"
        return s + "\end{pmatrix}\\\\\n"

10 代码测试

import unittest

from com.youngthing.mathalgorithm.linearalgebra.hessenberg import Matrix


class MyTestCase(unittest.TestCase):
    def test_household_reflector(self):
        matrix = Matrix(
            [[2, 1, -1, 7, 8], [1, 2, -1, 10, 11], [-1, -1, 2, 9, 6], [11, 3, 4, 5, 12], [16, 17, -4, -5, -6]])
        print(matrix.to_latex())
        print(matrix.to_hessenberg())
        print(matrix.eigen_values())

    def test_givens(self):
        matrix = Matrix(
            [[2, 1, -1, 7, 8], [1, 2, -1, 10, 11], [-1, -1, 2, 9, 6], [11, 3, 4, 5, 12], [16, 17, -4, -5, -6]])
        print("A=", matrix.to_latex())
        h = matrix.to_hessenberg()
        print("H=", h.to_latex())
        print(h.givens_rotations())

    def test_qr(self):
        matrix = Matrix(
            [[2, 1, -1, 7, 8], [1, 2, -1, 10, 11], [-1, -1, 2, 9, 6], [11, 3, 4, 5, 12], [16, 17, -4, -5, -6]])
        print("A=", matrix.to_latex())
        print(matrix.eigen_values())


if __name__ == '__main__':
    unittest.main()

测试结果，特征值为：

[22.315, -16.075, 4.631, -6.938, 1.067]

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Redis.conf配置文件及相关项说明 # Redis configuration file example # Note on units: when memory size is needed, it is possible to specifiy # it in the usual form of 1k 5GB 4M and so forth: #
[强人工智能]实现大规模拓扑分析是实现强人工智能的前奏 comsci 人工智能
真不好意思,各位朋友...博客再次更新... 节点数量太少,网络的分析和处理能力肯定不足,在面对机器人控制的需求方面,显得力不从心.... 但是,节点数太多,对拓扑数据处理的要求又很高,设计目标也很高,实现起来难度颇大...
记录一些常用的函数 dai_lm java
public static String convertInputStreamToString(InputStream is) { StringBuilder result = new StringBuilder(); if (is != null) try { InputStreamReader inputReader = new InputStreamRead
Hadoop中小规模集群的并行计算缺陷 datamachine mapreduce hadoop 并行计算
注：写这篇文章的初衷是因为Hadoop炒得有点太热，很多用户现有数据规模并不适用于Hadoop，但迫于扩容压力和去IOE（Hadoop的廉价扩展的确非常有吸引力）而尝试。尝试永远是件正确的事儿，但有时候不用太突进，可以调优或调需求，发挥现有系统的最大效用为上策。 -----------------------------------------------------------------
小学4年级英语单词背诵第二课 dcj3sjt126com english word
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自己实践了github的webhooks, linux上面的权限需要注意 dcj3sjt126com github webhook
环境, 阿里云服务器 1. 本地创建项目, push到github服务器上面 2. 生成www用户的密钥 sudo -u www ssh-keygen -t rsa -C "[email protected]" 3. 将密钥添加到github帐号的SSH_KEYS里面 3. 用www用户执行克隆, 源使
Java冒泡排序蕃薯耀冒泡排序 Java冒泡排序 Java排序
冒泡排序 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 蕃薯耀 2015年6月23日 10:40:14 星期二 http://fanshuyao.iteye.com/
Excle读取数据转换为实体List【基于apache-poi】 hanqunfeng apache
1.依赖apache-poi 2.支持xls和xlsx 3.支持按属性名称绑定数据值 4.支持从指定行、列开始读取 5.支持同时读取多个sheet 6.具体使用方式参见org.cpframework.utils.excelreader.CP_ExcelReaderUtilTest.java 比如： Str
3个处于草稿阶段的Javascript API介绍 jackyrong JavaScript
原文： http://www.sitepoint.com/3-new-javascript-apis-may-want-follow/?utm_source=html5weekly&utm_medium=email 本文中，介绍3个仍然处于草稿阶段，但应该值得关注的Javascript API. 1) Web Alarm API &
6个创建Web应用程序的高效PHP框架 lampcy Web 框架 PHP
以下是创建Web应用程序的PHP框架，有coder bay网站整理推荐： 1. CakePHP CakePHP是一个PHP快速开发框架，它提供了一个用于开发、维护和部署应用程序的可扩展体系。CakePHP使用了众所周知的设计模式，如MVC和ORM，降低了开发成本，并减少了开发人员写代码的工作量。 2. CodeIgniter CodeIgniter是一个非常小且功能强大的PHP框架，适合需
评"救市后中国股市新乱象泛起"谣言 nannan408
首先来看百度百家一位易姓作者的新闻：三个多星期来股市持续暴跌，跌得投资者及上市公司都处于极度的恐慌和焦虑中，都要寻找自保及规避风险的方式。面对股市之危机，政府突然进入市场救市，希望以此来重建市场信心，以此来扭转股市持续暴跌的预期。而政府进入市场后，由于市场运作方式发生了巨大变化，投资者及上市公司为了自保及为了应对这种变化，中国股市新的乱象也自然产生。首先，中国股市这两天
页面全屏遮罩的实现方式 Rainbow702 html css 遮罩 mask
之前做了一个页面，在点击了某个按钮之后，要求页面出现一个全屏遮罩，一开始使用了position:absolute来实现的。当时因为画面大小是固定的，不可以resize的，所以，没有发现问题。最近用了同样的做法做了一个遮罩，但是画面是可以进行resize的，所以就发现了一个问题，当画面被reisze到浏览器出现了滚动条的时候，就发现，用absolute 的做法是有问题的。后来改成fixed定位就
关于angularjs的点滴 tntxia AngularJS
angular是一个新兴的JS框架，和以往的框架不同的事，Angularjs更注重于js的建模，管理，同时也提供大量的组件帮助用户组建商业化程序，是一种值得研究的JS框架。 Angularjs使我们可以使用MVC的模式来写JS。Angularjs现在由谷歌来维护。这里我们来简单的探讨一下它的应用。首先使用Angularjs我
Nutz--->>反复新建ioc容器的后果 xiaoxiao1992428 DAO mvc IOC nutz
问题： public class DaoZ { public static Dao dao() { // 每当需要使用dao的时候就取一次 Ioc ioc = new NutIoc(new JsonLoader("dao.js")); return ioc.get(