[CF992C Nastya and a Wardrobe] 题解

[CF992C Nastya and a Wardrobe] 题解

一看就是数（猜）学（的）题

推公式！！！

对于第一个月来说，裙子的数量取值为 $[x\times 2-1,x\times 2]\cap \mathbb{Z}$ ，而每种取值的概率都是 $50\%$ 。

对于第二个月来说，裙子的数量取值范围是 $[(x\times 2-1)\times 2-1,x\times 2\times 2]\cap \mathbb{Z}\equiv [x\times 2^2-2^2+1,x\times 2^2]\cap \mathbb{Z}$ ，而每种取值的概率都是 $25\%$ 。

对于第三个月来说，裙子的数量取值范围是 $[((x\times 2-1)\times 2-1)\times 2-1,x\times 2\times 2\times 2]\cap \mathbb{Z}\equiv [x\times 2^3-2^3+1,x\times 2^3]\cap \mathbb{Z}$ ，而每种取值的概率都是 $12.5\%$ 。

更一般的对于前 $k$ 个月中某月 $n$ ，我们可以发现它裙子数量可以达到的值是 $[x\times 2^k-2^k+1,x\times 2^k]\cap \mathbb{Z}$ 。

而对于每种情况，其概率都为 $\frac{100\%}{2^k}$ ，所以在前 $k$ 个月，数量的期望是 $\frac{x\times 2^{k+1}-2^k+1}{2}$ ，由于最后一个月数量乘二，所以最终结果为 $x\times 2^{k+1}-2^k+1$ 。

所以快速幂一下就行了。

ps：不开 long long 见祖宗，还需判断一下当 $x=0$ 的情况。

#include 
#define int long long
using namespace std;
#define max(x, y) (x > y ? x : y)
#define min(x, y) (x < y ? x : y)
const int mod = 1e9 + 7;
int fpow(int x, int p) {
	if (p == 0)
		return 1;
	if (p == 1)
		return x;
	int t = fpow(x, p / 2);
	if (p & 1)
		return (t * t % mod) * x % mod;
	return (t * t) % mod;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int x, k;
	cin >> x >> k;
	if (x == 0) {
		cout << "0" << endl;
		return 0;
	}
	cout <<  ((((2 * x - 1 + mod) % mod) * fpow(2, k) + mod) % mod + 1) % mod << endl;
}