Barrett reduction
Barrett reduction
一.主要思想
在计算modn操作时，需要用到除法。而计算机计算除法的速度很慢，因此Barrett reduction算法使用位移操作和减法操作来替换除法操作，实现modn的目的
二.算法步骤
计算xmodn
1.预计算阶段
1. 首先n为整数，且n≥3，n不是2的幂。0
2. 选择一个自然数k，其中2k＞n
3. 计算r = ⌊4k / n⌋ （r是预计算因子）
2.约减阶段
1.计算t = x - ⌊x*r / 4k⌋ * n
2.若t 由于 n 不是 2 的幂，所以 4 k n 不是整数。 4 k n − 1 < r < 4 k n 两侧同乘 x ( x ≥ 0 ) , 同除 4 k x n − x 4 k ≤ x r 4 k ≤ x n 因为 x < n 2 < 4 k , 所以 x 4 k < 1 因此 x n − 1 < x r 4 k ≤ x n 又因 x n − 2 < ⌊ x n − 1 ⌋ ⌊ x n − 1 ⌋ ≤ ⌊ x r 4 k ⌋ 因此 x n − 2 < ⌊ x n − 1 ⌋ ≤ ⌊ x r 4 k ⌋ ≤ x n 乘 n 取负数得 − x ≤ − ⌊ x r 4 k ⌋ n < 2 n − x 两侧加 x 0 ≤ x − ⌊ x r 4 k ⌋ n < 2 n 显然 x ≡ x − ⌊ x r 4 k ⌋ m o d n \begin{align} &由于n不是2的幂，所以\frac{4^k}{n}不是整数。\\ \\ &\frac{4^k}{n}-1三.算法正确性证明