Barrett reduction

Barrett reduction

一.主要思想

​ 在计算modn操作时，需要用到除法。而计算机计算除法的速度很慢，因此Barrett reduction算法使用位移操作和减法操作来替换除法操作，实现modn的目的

二.算法步骤

计算xmodn

1.预计算阶段

​ 1. 首先n为整数，且n≥3，n不是2的幂。02

​ 2. 选择一个自然数k，其中2^k＞n

​ 3. 计算r = ⌊4^k / n⌋ （r是预计算因子）

2.约减阶段

​ 1.计算t = x - ⌊x*r / 4^k⌋ * n

​ 2.若t

三.算法正确性证明

$$\begin{array}{rl}& 由于n不是2的幂，所以\frac{4^k}{n}不是整数。\\ & \\ & \frac{4^k}{n}-1<r<\frac{4^k}{n}\\ & \\ & 两侧同乘x(x\ge 0),同除4^k\\ & \\ & \frac{x}{n}-\frac{x}{4^k}\le \frac{xr}{4^k}\le \frac{x}{n}\\ & \\ & 因为x<n^2<4^k,所以\frac{x}{4^k}<1\\ & \\ & 因此\frac{x}{n}-1<\frac{xr}{4^k}\le \frac{x}{n}\\ & \\ & 又因\frac{x}{n}-2<\lfloor \frac{x}{n}-1\rfloor \\ & \\ & \lfloor \frac{x}{n}-1\rfloor \le \lfloor \frac{xr}{4^k}\rfloor \\ & \\ & 因此\frac{x}{n}-2<\lfloor \frac{x}{n}-1\rfloor \le \lfloor \frac{xr}{4^k}\rfloor \le \frac{x}{n}\\ & 乘n取负数得\\ & -x\le -\lfloor \frac{xr}{4^k}\rfloor n<2n-x\\ & 两侧加x\\ & 0\le x-\lfloor \frac{xr}{4^k}\rfloor n<2n\\ & 显然x\equiv x-\lfloor \frac{xr}{4^k}\rfloor modn\end{array}$$