数据结构之哈夫曼树

1. 哈夫曼树的基本概念

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。

所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为：

WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+ Wn*Ln)

N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。

可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

为了直观其见，下图中把带权的叶子结点画成方形，其他非叶子结点仍为圆形。请看下图中的三棵二叉树以及它们的带权路径长：

 

注意：这三棵二叉树叶子结点数相同，它们的权值也相同，但是它们的 WPL带权路径长各不相同。图(c)WPL最小。它就是哈曼树，即最优树。

 

2. 哈夫曼树的构造
构造哈夫曼树的方法 
对于已知的一组叶子的权值Ｗ 1 ，Ｗ 2...... ，Ｗ n 
①首先把 n 个叶子结点看做 n 棵树（仅有一个结点的二叉树），把它们看做一个森林。 
②在森林中把权值最小和次小的两棵树合并成一棵树，该树根结点的权值是两棵子树权值之和。这时森林中还有 n-1 棵树。 
③重复第②步直到森林中只有一棵为止，此树就是哈夫曼树。

现给一组 (n=4) 具体的权值: 2 ， 4 ， 5 ， 8 ，下边是构造具体过程：

 

n 个叶子构成的哈夫曼树其带权路径长度是唯一的，但树形是不唯一的。因为将森林中两棵权值最小和次小的子棵合并时，哪棵做左子树，哪棵做右子树并不严格限制。

 

3.  哈夫曼树的应用

    在通信及数据传输中多采用二进制编码。为了使电文尽可能的缩短，可以对电文中每个字符出现的次数进行统计。设法让出现次数多的字符的二进制码短些，而让那些很少出现的字符的二进制码长一些。

    假设有一段电文，其中用到 4 个不同字符A, C, S, T，它们在电文中出现的次数分别为 8 ， 2 ， 4 ， 5 。把 8， 2 ， 4 ， 5 当做 4 个叶子的权值构造哈夫曼树如下图所示。在树中令所有左分支取编码为 0 ，令所有右分支取编码为1。将从根结点起到某个叶子结点路径上的各左、右分支的编码顺序排列，就得这个叶子结点所代表的字符的二进制编码，j结果如下图所示。

这些编码拼成的电文不会混淆，因为每个字符的编码均不是其他编码的前缀，这种编码称做前缀编码。关于信息编码是一个复杂的问题，还应考虑其他一些因素。比如前缀编码每个编码的长度不相等，译码时较困难。还有检测、纠错问题都应考虑在内。这里仅对哈夫曼树举了一个应用实例。