高数知识总结之向量代数与空间解析几何

一、两向量的数量积及其应用

1.向量的数量积

向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)的数量积为

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其中θ为向量a与b之夹角,规定0≤θ≤π.

2.向量的数量积运算规律

(1) 交换律 a∙b=b∙a;

(2) 结合律 (λa)∙b=a∙(λb)= λ(a∙b );

(3) 分配律 (a+b)∙c= a∙c + b∙c;

(4) a∙a=| a|2(模的计算转换为数量积)

3.两向量的夹角

两非零向量a与b的夹角余弦计算公式为

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4.两向量垂直位置关系的判定

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【注】:零向量与任何向量垂直.

5.向量积的物理应用

常力F拉物体沿位移S所做的功W为:

                  W=F∙S

二、两向量的向量积及其应用

1.向量积的定义

两向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)的向量积定义

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【注】:两向量的数量积为一个数量,而两向量的向量积为一个向量.关于向量a,b的向量积,有:

(1) aⅹb与a,b分别垂直;

(2)a,b与aⅹb服从右手法则(将两向量平移到同一起点,四个手指指向向量a,以不超过180度转向到向量b,则大拇指方向为向量积方向);

(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a,b间的夹角.

2.向量积的运算律

(1) 反交换律aⅹb=- bⅹa;;   

(2) aⅹa=0;

(3) 结合律 (λa)ⅹb=aⅹ(λb)=λ(aⅹb),其中λ为实数;

(4) 分配律 (a+b)ⅹc=aⅹc+bⅹc.

3.向量积的几何应用

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4.向量积的物理应用

设O为一根杠杆L的支点,有一个力F作用于这杠杆上点P处,则力F对支点O的力矩M为

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三、向量的混合积及其应用

1.向量的混合积

设有三个向量

a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),

则称向量(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积,记作[abc],并有

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根据行列式的运算性质,可得向量的混合积满足轮换性,即

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2.混合积的几何应用

(1) a,b,c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ,μ,γ,使得

λa +μb +γc=0.

(2) 空间四点A,B,C,D共面

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(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为:

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(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为:


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四、三向量的外积

1.二重外积公式

对任意向量a,b,c,有

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该公式也称为三向量的双重向量积.

2.双重向量积的几何关系

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