python在运筹学中的应用（一）

运筹学简介

运筹学概念

​ 运筹学，是现代管理学的一门重要专业基础课。它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。该学科应用于数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

​ 运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。 研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业相关。

运筹学与数学模型关系

运筹学是数学模型的真子集

运筹学学科内容

​ 主要分支有：数学规划、图论、博弈论、决策论、排队论等

​ 应用运筹学处理问题时分为5个阶段：

①规定目标和明确问题：包括把整个问题分解成若干子问题，确定问题的尺度、有效性度量、可控变量和不可控变量，以及用来表示变量界限和变量间关系的常数和参数。

②收集数据和建立模型：包括定义关系、经验关系和规范关系。

③求解模型和优化方案：包括确定求解模型的数学方法,程序设计和调试,仿真运行和方案选优。

④检验模型和评价解答：包括检验模型的一致性、灵敏度、似然性和工作能力，并用试验数据来评价模型的解。一致性是指主要参数变动时（尤其是变到极值时）模型得出的结果是否合理；灵敏度是指输入发生微小变化时输出变化的相对大小是否合适；似然性是指对于真实数据的案例，模型是否适应；工作能力则是指模型是否容易解出，即在规定时间内算出所需的结果。

⑤方案实施和不断优化：包括应用所得的解解决实际问题，并在方案实施过程中发现新的问题和不断进行优化。上述5个阶段往往需要交叉进行，不断反复。

python在数学规划中的应用

数学规划基础知识

数学规划包括

线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等。

分类	应用
线性规划	主要解决生产计划问题，合理下料问题，最优投资问题
非线性规划	如证券投资组合优化：如何合理投资使风险最小
动态规划	分阶段决策问题，比较经典的是最短路径问题
整数规划	在线性规划的基础上，变量加上整数约束，比较经典的是0-1背包问题
目标规划	多目标并存；应用范围较广，企业管理中经常会用到

建模条件

1. 优化条件：问题所要达到的目标能用函数描述，且能用极值（max或者min）来表示

2. 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的等式或者不等式表示

3. 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案

建模步骤

1. 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

2. 由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数，明确是max还是min；

3. 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

线性规划

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

​ 线性规划问题可以手解的方法有“图解法“和”单纯形法”。“图解法”顾名思义，就是画图求出最优解；”单纯形法”是一个特别有趣的方法，具体操作请参考后文的参考资料(3)~

用python解决线性规划步骤

step1：将模型表达式转化为标准模式
$$\begin{gathered} min{c}^{T}x \\ s.t.\{\begin{array}{l}{A}_{ub}x\le b_{ub}\\ A_{eq}\ast x=b_{eq}\\ l\le x\le u\end{array} \end{gathered}$$

其中x是决策变量的向量； c, b_ub, b_eq, l，和 u是向量；和 Aub 和 Aeq 是矩阵

step2：Python求解

from scipy import optimize
import numpy as np

#求解函数
res = optimize.linprog(c,Aub,bub,Aeq,beq,l,u,X0,OPTIONS)
#目标函数最小值
print(res.fun)
#最优解
print(res.x)

需要注意的问题：

1、在线性规划问题中，标准形式中目标函数表达式为max；在python函数中，标准形式中目标函数表达式为min！！！在写python表达式时，请一定要格外注意c值的正负问题~~！！！

2、标准形式中，弹性约束的符号是小于等于，请一定要注意Aub矩阵每一行的正负问题

扩展小知识1：

MATLAB求解代码如下：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,l,u,X0,OPTIONS)

例1

生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得最多？

	Ⅰ	Ⅱ
设备	1	2	8（台时）
原材料A	4	0	16（kg）
原材料B	0	4	12（kg）
利润(元/kg)	2	3

假定：工厂分别生产产品Ⅰ和Ⅱx_1、x_2

模型可记为：
$$\begin{gathered} maxz=2x_1+3x_2 \\ s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2\le 8\\ 4x_1\le 16\\ 4x_2\le 12\\ x_1,x_2\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
python代码如下：

#导入包
from scipy import optimize
import numpy as np

c = np.array([2,3])
Aub = np.array([[1,2],[4,0],[0,4]])
bub = np.array([8,16,12])

#求解
res = optimize.linprog(-c,Aub,bub)
print(res)

结果如下：

#等式约束的残差 
con: array([], dtype=float64)
#目标函数的最佳值
fun: -13.999999982532964
message: 'Optimization terminated successfully.'
#在所有阶段中执行的迭代总数
nit: 4
#不等式约束的松弛值
slack: array([1.02599227e-08, 1.66172107e-08, 4.00000001e+00])
#表示算法退出状态的整数（0：优化成功终止）
status: 0
#当算法成功找到最佳解决方案时为True
success: True
#在满足约束的情况下将目标函数最小化的决策变量的值
x: array([4., 2.])

扩展知识2：

​ 在线性规划中有一个很重要的知识点就是“对偶”的概念。

​ 比如说，下面的例子换一种问法：若厂长决定不生产Ⅰ和Ⅱ两种产品，决定向外销售两种原料，只收加工费，那么两种原料如何定价才是最佳决策？

​ 由于“对偶”问题时一个纯数学问题，其意义在于讨论“影子价格”的问题，但其中的模型变化、性质等十分繁复，只要写出来标准形式的数学模型，在python实现方面没有什么变化，所以这里就过多赘述了，如果感兴趣的小伙伴，可以看一下后文的参考资料(5)~

​ 注：影子价格：是在取得原问题最优解后，在其它条件不变的情况下（最重要的是最优基不变），某一资源限制被增加了一个单位，其它资源的限制不变，给目标函数增加的收益。

扩展知识3：

​ 在线性规划的领域中，还有一类经典问题——“运输问题”，包括产销平衡和产销不平衡，在数学角度解决“运输问题”有一个方法叫做“表上作业法”，也是一个很有意思的纸上画画画的过程，虽然形式上有所变化，但其根本依然是“单纯型法”。请参照后文的参考资料(6)

扩展小知识4：

​ 目标规划问题也可以通过增加正负偏差变量，变为线性规划问题进行python编程解决哦~

非线性规划

python函数

scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)

重要参数解析：

参数	解释
fun	最小化的目标函数
x0	变量初始值数组，ndarray(n)
method	默认SLSQP(最小二乘)
constraints	约束条件

例2

求下式最小值：
$$\frac{2+x_1}{1+x_2}-3x_1+4x_3(0.1\le x_1,x_2,x_3\le 0.9)$$
python代码如下：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
 
def fun(args):
    a,b,c,d=args
    v=lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]
    return v
def con(args):
    # 约束条件 分为eq 和ineq
    #eq表示 函数结果等于0 ； ineq 表示 表达式大于等于0  
    x1min, x1max, x2min, x2max,x3min,x3max = args
    cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\
              {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\
             {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\
                {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\
             {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})
    return cons
 
if __name__ == "__main__":
    #定义常量值
    args = (2,1,3,4)  #a,b,c,d
    #设置参数范围/约束条件
    args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9)
    cons = con(args1)
    #设置初始猜测值  
    x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))
    
    res = minimize(fun(args), x0,method='SLSQP',constraints=cons)

    print(res)

结果如下：

#目标函数的最佳值
fun: -0.773684210526435
#函数的雅可比矩阵
jac: array([-2.47368421, -0.80332409,  4.        ])
message: 'Optimization terminated successfully'
nfev: 8
nit: 2
njev: 2
#表示算法退出状态的整数（0：优化成功终止）
status: 0
success: True
#在满足约束的情况下将目标函数最小化的决策变量的值
x: array([0.9, 0.9, 0.1])

整数规划

整数规划特点

1. 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：

​ ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致

​ ②整数规划无可行解

2. 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而得

求解方法

1. 分枝定界法——可求纯或混合整数线性规划问题

2. 割平面法——可求纯或混合整数线性规划

3. 隐枚举法——求解“0-1”整数规划：

​ ①过滤隐枚举法；

​ ②分枝隐枚举法。

4. 匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
5. 蒙特卡洛法—求解各种类型规划。

例3

​ 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务可是总时间最少？

	A	B	C	D
甲	6	7	11	2
乙	4	5	9	8
丙	3	1	10	4
丁	5	9	8	2

系数矩阵：

匈牙利变换后的最优解矩阵：

匈牙利法的python函数

scipy.optimize.linear_sum_assignment(cost_matrix, maximize=False)

Python代码：

from scipy.optimize import linear_sum_assignment
  
cost = np.array([[6,7,11,2],[4,5,9,8],[3,1,10,4],[5,9,8,2]])
row_ind,col_ind=linear_sum_assignment(cost)
print(row_ind)#开销矩阵对应的行索引
print(col_ind)#对应行索引的最优指派的列索引
print(cost[row_ind,col_ind])#提取每个行索引的最优指派列索引所在的元素，形成数组
print(cost[row_ind,col_ind].sum())#数组求和

结果如下：

[0 1 2 3]
[3 0 1 2]
[2 4 1 8]
#最后的最优解，即总时间为15
15

参考资料

(1) 运筹学(管理类专业基础课) - 百度百科

(2) 运筹学-MBA智库

(3) 单纯型法手算详解

(4) scipy.optimize.linprog（官方文档）

(5) 线性规划的对偶问题 - 知乎

(6) 表上作业法

(7) scipy.optimize.minimize (官方文档)

(8) scipy.optimize.linear_sum_assignment(官方文档)