变分法（欧拉 - 拉格朗日）和梯度下降求泛函最优解

泛函的简单理解：

是的变量， 这样的就叫泛函 .

加个积分，这样的就叫积分泛函 .

欧拉 - 拉格朗日 (E - L) 公式：

定义一个能量泛函如下：

我们的目的是找到能使 取到极值的时候 的取值，所以我们就假设 就是当前能使取极值时的一个函数 ：

所以一定有：

其中 和 都是关于 的函数，也就是 和   . 且

我们把 看成一个 为变量的函数 ，当 时 ，所以可以推断出    .

原式：

由于 ：

 

 对后一项使用分部积分公式：

 

合并第一项和第三项：

文章开头我们提过 ，所以  ，若原式 ，则：

 

这就是变分法引理，也就是大名鼎鼎的欧拉 - 拉格朗日 (E - L) 公式

 我们利用相同的方法，可以推出几个衍生公式：

1 .  积分泛函为 ：   时，利用上述变分法得到E-L公式为

 2 .  积分泛函为：时，利用上述变分法得到E-L公式为

 

意义及应用：

文章的标题已经说过了，在关于水平集图像分割中，其公式的意义主要是用于梯度下降求泛函最优解，那为什么要引用一个新变量 ？根据水平集和曲线演化的概念，曲线是随着时间慢慢演化的，我们就可以理解为 取一个趋近于 很小的数，所以 也就会很小，把 当成时间变量，我们利用时间一点点向前，一点一点演化曲线，最终达到目的。