1. 数学基础

泰勒公式

If and if exists on the open interval , then for any points and in the closed interval ,

for some point between and

收敛阶数 order of convergence

描述一个序列的收敛速度
如果，那么序列的收敛阶数为

使用迭代公式来计算，求
$\begin{align*} |x_{k+1} - \sqrt{a}| & = |\frac{x_k(x_k^2 + 3a)}{3x_k^2+a} - \sqrt{a} | \\ & = |\frac{x_k^3 + 3a x^k - 3x_k\sqrt{a} + a\sqrt{a} }{3x_k^2+a}| \\ & = |\frac{(x_k - \sqrt{a})^3}{3x_k^2+a}| \\ & \approx \frac{1}{4a}|(x_k - \sqrt{a})|^3 , (x_k \to \sqrt{a}) \end{align*}$
收敛阶数为3

定理：对于迭代公式，如果在附近收敛，并且
那么迭代公式的收敛阶数为

2. 计算机算法

计算机使用二进制表示数字，由于有限的数字位数，无法精确地表示每一个数字，可能需要进行舍入

绝对误差：
相对误差：

两个非常接近的数字相减会带来较大地误差，通过分式上下同乘两数相加来避免

一个数值计算过程是不稳定的，如果在这个过程中一个阶段的误差被下一个阶段放大

3. 解线性方程组

解，先将化成两个简单的上三角、下三角矩阵
解，得到
解，得到原方程的解

Doolittle分解

令，依次更新的行，的列

LDU分解

对Doolittle分解的提取对角线元素，分解成

Crout分解

令，依次更新的列，的行

Cholesky分解

需是实对称正定矩阵

高斯消元法 with Scaled Row Pivoting

取每一行绝对值最大的数
取最大的行作为第次消元的pivot row，为第次更新后的值，前面已选为pivot row的行不参与

范数

矩阵的范数
范数：绝对值行求和取最大
1范数：绝对值列求和取最大
2范数：的谱半径（最大特征值）开平方

用迭代法解方程

The equation suggests an iterative process

如果，则迭代法收敛

Richardson:

Modified Richardson:

Jacobi:

Gauss-Seidel:

SOR(successive over relaxation):

Consider a system

discuss its convergence when using Jacobi and G-S methods.
Solution: decomposing the coefficient matrix such that
Jacobi:

解特征方程得到特征值
, Jacobi方法收敛
Gauss-Seidel:

解特征方程得到特征值
, Gauss-Seidel方法不收敛

4. 函数逼近

多项式插值

给定一组点，找到一个插值多项式使得
误差项

拉格朗日插值法

牛顿插值法

等间距：
迎风差：

厄米特插值法

插值函数在给定点的函数值、导数都需与给定值相等

2n+2个条件，可以确定一个2n+1阶多项式

构造基函数
$\begin{cases} \alpha_j(x_k) = \delta_{jk}, \alpha'_j(x_k) = 0 \\ \beta_j(x_k) = 0, \beta'_j(x_k) = \delta_{jk} \end{cases} \ \ \delta_{jk} = \begin{cases} 0, j \ne k \\ 1, j = k \end{cases} \ (j, k = 0, 1, \cdots, n)$

最小二乘逼近

$\left(\begin{matrix} \sum_{i=1}^{m} x_i^0 & \sum_{i=1}^{m} x_i^1 & \cdots & \sum_{i=1}^{m} x_i^n \\ \sum_{i=1}^{m} x_i^1 & \sum_{i=1}^{m} x_i^2 & \cdots & \sum_{i=1}^{m} x_i^{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{m} x_i^n & \sum_{i=1}^{m} x_i^{n+1} & \cdots & \sum_{i=1}^{m} x_i^{2n} \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sum_{i=1}^{m} y_i x_i^0 \\ \sum_{i=1}^{m} y_i x_i^1 \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{m} y_i x_i^n \\ \end{matrix}\right)$

函数逼近
$\left(\begin{matrix} \int_{a}^{b} x^0 dx & \int_{a}^{b} x^1 dx & \cdots & \int_{a}^{b} x^n dx \\ \int_{a}^{b} x^1 dx & \int_{a}^{b} x^2 dx & \cdots & \int_{a}^{b} x^{n+1} dx \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \int_{a}^{b} x^n dx & \int_{a}^{b} x^{n+1} dx & \cdots & \int_{a}^{b} x^{2n} dx \\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \int_{a}^{b} f(x) x^0 dx \\ \int_{a}^{b} f(x) x^1 dx \\ \vdots \\ \int_{a}^{b} f(x) x^n dx \\ \end{matrix}\right)$

正交多项式

如果
则称在权函数下正交

勒让德正交多项式

区间为

切比雪夫正交多项式

区间为

5. 数值微分与积分

数值微分

Richardson外推法

反复将带入泰勒展开式、组合，消去低阶项

数值积分

Newton-Cotes

使用拉格朗日插值多项式近似函数，对多项式积分

Trapezoid

使用一次函数近似，计算梯形面积

Composite Trapezoid

将区间n等分，, 计算n个梯形面积

Simpson

Composite Simpson

n等分区间，

Gaussian Quadrature

寻找最合适的点和系数，使得近似的精度最高
个系数，个点，可以确定精度最高阶多项式

选择的个点为阶正交多项式的零点
选择正交多项式要根据权重函数，区间，若区间不是，则需要作变量代换化成

当权重函数，选择切比雪夫正交多项式

6. 非线性方程求根

Bisection Method

, then

收敛阶数：

Newton Method

收敛阶数：

Secant Method

使用近似

收敛阶数：

7. 常微分方程的数值解法

在给定曲线上一个点的前提下，解一阶常微分方程
不直接求原函数，而是求某个点的近似函数值

局部截断误差：，则称该方法是阶的

Euler’s Method

Trapezoidal Method

implicit Euler formula

第二步采用迭代的方法

Modified Euler Method

不用迭代

Runge-Kutta Methods

上面的方式是单步(single-step methods)的，因为只依赖

数值分析

1. 数学基础

泰勒公式

收敛阶数 order of convergence

2. 计算机算法

3. 解线性方程组

Doolittle分解

LDU分解

Crout分解

Cholesky分解

高斯消元法 with Scaled Row Pivoting

范数

用迭代法解方程

Richardson:

Modified Richardson:

Jacobi:

Gauss-Seidel:

SOR(successive over relaxation):

4. 函数逼近

多项式插值

拉格朗日插值法

牛顿插值法

厄米特插值法

最小二乘逼近

正交多项式

勒让德正交多项式

切比雪夫正交多项式

5. 数值微分与积分

数值微分

Richardson外推法

数值积分

Newton-Cotes

Trapezoid

Composite Trapezoid

Simpson

Composite Simpson

Gaussian Quadrature

6. 非线性方程求根

Bisection Method

Newton Method

Secant Method

7. 常微分方程的数值解法

Euler’s Method

Trapezoidal Method

Modified Euler Method

Runge-Kutta Methods

Adams methods

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