LA@向量@线性方程组与向量

向量@线性方程组与向量

不具体线性方程组的解

• 高斯消元法适合求解具体的线性方程组
• 消元法将原方程组化为阶梯形方程组的结果是否唯一?

n维向量

• 由n个数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$组成的有序数组$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$称为一个n维向量

  • 数$a_i$称为向量的第i个分量

• 通常以小写希腊字母$\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$表示向量

• 向量通常写成一行或一列,分别称为行向量,列向量

  • 一个n维行向量是$1\times n$的矩阵
  • 一个n维列向量是$n\times 1$的矩阵
  • 列向量可以看作行向量的转置

• 分量全为0的向量称为零向量

• $-\alpha =-(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$为向量$\alpha$的负向量

• 矩阵的列向量组

  • A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​

  • 记 α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) , j = 1 , 2 , ⋯   , n A = ( α 1 α 2 ⋯ α i n ) \\记\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{in} \\ \end{pmatrix} 记αj​= ​a1j​a2j​⋮amj​​ ​,j=1,2,⋯,nA=(α1​​α2​​⋯​αin​​)

  • 记 β i = ( a i 1 , a i 2 , ⋯   , a i n ) A = ( β 1 β 2 ⋮ β i ) A = ( α 1 α 2 ⋯ α i n ) = ( β 1 β 2 ⋮ β i ) 记\beta_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}) \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \vdots \\ \beta_{i} \\ \end{pmatrix} \\ A= \begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{in} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \vdots \\ \beta_{i} \\ \end{pmatrix} 记βi​=(ai1​,ai2​,⋯,ain​)A= ​β1​β2​⋮βi​​ ​A=(α1​​α2​​⋯​αin​​)= ​β1​β2​⋮βi​​ ​

向量组的表示

• 某个含有s个n维向量的向量组$\Phi$的表示:

• 向量通项表示法:

  • α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a n j ) = ( a 1 j , a 2 j , ⋯   , a n j ) T , j = 1 , 2 , ⋯   , s 简称为向量组 α j \alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix} =(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})^T ,j=1,2,\cdots,s \\简称为向量组\alpha_j αj​= ​a1j​a2j​⋮anj​​ ​=(a1j​,a2j​,⋯,anj​)T,j=1,2,⋯,s简称为向量组αj​

• 字母表示法:

  • $\Phi ={\alpha }_1{\alpha }_2\cdot ,{\alpha }_s$,简称为向量组$\Phi$

线性方程组的向量组写法:

• 线性方程组:$Ax=B_{m\times 1}$可以用列向量组表示为线性关系式:

  • A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = B 或 ( α 1 α 2 ⋯ α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = B 或 ∑ i = 1 n x i α i = B Ax=x_1\alpha_{1}+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_{n}=B \\或 \begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}=B \\或\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_{i}=B Ax=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=B或(α1​​α2​​⋯​αn​​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=B或i=1∑n​xi​αi​=B

  • 方程组是否有解等价于上式是否有解成立

• 而$Ax=0$可以表示为

  • $$Ax=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$$

  • 方程组有非零解等价于上式是否存在非零解

向量和向量组间的关系

• 向量的线性组合和线性表示

  • 对于$s+1$个n维向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$,如果存在一组数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$使得

    • β = ∑ i = 1 s k i α i 用矩阵长乘法表示 : β = ( α 1 α 2 ⋯ α s ) ( k 1 k 2 ⋮ k s ) \beta=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_{i} \\ 用矩阵长乘法表示: \\ \beta=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{s} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} β=i=1∑s​ki​αi​用矩阵长乘法表示:β=(α1​​α2​​⋯​αs​​) ​k1​k2​⋮ks​​ ​

      则称$\beta$是向量组$A={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$的一个(关于表出系数$K=k_1,k_2,\cdots ,k_s$)的线性组合

    • 或称$\beta$可以被A线性表出

    • 观察线性方程组

      • ( α 1 α 2 ⋯ α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = β \begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}=\beta (α1​​α2​​⋯​αn​​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=β

      • $\beta$能否被向量组线性表出,取决于方程组是否有解

    • 小结:

      • 向量$\beta$能被向量组$A={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表出时,当且仅当$Ax=\beta$有解,即$r(A)=r(A,\beta )$
        • s为表出系数的个数(方程组含有的未知数个数,也是向量组A中含有的列向量个数)
        • $Ax=\beta$的解就是$\beta$关于向量组A的表出系数
      • 当向量组$A={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$满足$r(A)=r(A,B)$时,$\beta$可以被${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表出
        • 若$r(A)=s$,则$\beta$可以被A唯一线性表示
        • 若$r(A)<s$,则$\beta$可以被A无穷线性表示

• 零向量是任意一个向量组的线性组合(取表出系数全为0,$K=0$,则$0=\sum _{i=1}^{s}0{\alpha }_i$)

n维单位向量

• $$\begin{gathered} {\epsilon }_i=(c_1,\cdots ,c_i,\cdots ,c_n)=(0,\cdots ,1,\cdots ,0), \\ 其中c_k=\{\begin{array}{ll}1,& (k=i)\\ 0,& (k\ne i)\end{array}k=1,2,\cdots ,n \\ i=1,2,\cdots ,n \end{gathered}$$

  • 任意一个向量$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=\sum _{i=1}^n{a}_i{\epsilon }_i$

向量组线性相关性@无关性

• 讨论完向量的向量组的线性表出问题,还有向量组的线性相关性问题

• 给定向量组$A={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$,若存在s个不全为0的数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$,使得:

  • ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) ( k 1 k 2 ⋮ k s ) = ∑ i = 1 s k i α i = 0 则称向量组 A 线性相关 , 否则线性无关 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =\sum\limits_{i=1}^{s}{k_i\alpha_i}=\bold0 \\ 则称向量组A线性相关,否则线性无关 (α1​,α2​,⋯,αs​) ​k1​k2​⋮ks​​ ​=i=1∑s​ki​αi​=0则称向量组A线性相关,否则线性无关

• 向量组A线性无关还可以描述为:

  • 使得$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$成立的s个数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$全为0

• 对于单个向量构成的向量组$A={\alpha }_1$,若要满足A线性相关,即存在$k\ne 0$使得$k{\alpha }_1=0$,只有当${\alpha }_1=0$成立

  • 而单个非零向量构成的向量组线性无关

• n维单位向量构成的向量组线性无关:

  • $$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{k}_i{\epsilon }_i=(k_1,k_2,\cdots ,k_s) \\ 只有当k_1=k_2=\cdots =k_s=0能使上式等于零向量 \end{gathered}$$

• 对于包含相同数量的向量的向量组,如果向量间的独立性越强,说明向量组的无用信息越少(无关性程度越高)

• 向量组$A={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性相关的充要条件是:线性方程组$Ax=0$有非零解(和线性表出类似)

  • 若$r(A)=s$则A线性无关
  • 若$r(A)<s$,则A线性相关

例

• 矩阵A的列向量组:

  • α 1 = ( 3 , − 1 , 3 , 1 ) T α 1 = ( 4 , − 2 , 5 , 4 ) T α 1 = ( 2 , − 1 , 4 , − 1 ) T 将 A 表示为列向量的分块矩阵 : A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 2 4 2 − 1 − 2 − 1 3 5 4 1 4 − 1 ) 矩阵 A 对应的列向量组之间的线性相关性取决于 : 齐次线性方程组 A x = 0 是否有非零解 . 将 A 通过初等变换化为包含 r 阶单位阵的行简化阶梯形矩阵 D , ( r 为 D 的非零行的行数 ) : D = D ( A ) = ( 1 0 3 0 1 − 1 0 0 0 0 0 0 ) \alpha_1=(3,-1,3,1)^T \\ \alpha_1=(4,-2,5,4)^T \\ \alpha_1=(2,-1,4,-1)^T \\将A表示为列向量的分块矩阵:A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =\begin{pmatrix} 2& 4& 2 \\ -1& -2& -1 \\ 3& 5& 4 \\ 1& 4& -1 \\ \end{pmatrix} \\ 矩阵A对应的列向量组之间的线性相关性取决于: \\齐次线性方程组Ax=\bold{0}是否有非零解. \\将A通过初等变换化为包含r阶单位阵的行简化阶梯形矩阵D, \\(r为D的非零行的行数):\\ D=D(A)=\begin{pmatrix} 1& 0& 3 \\ 0& 1& -1 \\ 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \\ \end{pmatrix} α1​=(3,−1,3,1)Tα1​=(4,−2,5,4)Tα1​=(2,−1,4,−1)T将A表示为列向量的分块矩阵:A=(α1​,α2​,α3​)= ​2−131​4−254​2−14−1​ ​矩阵A对应的列向量组之间的线性相关性取决于:齐次线性方程组Ax=0是否有非零解.将A通过初等变换化为包含r阶单位阵的行简化阶梯形矩阵D,(r为D的非零行的行数):D=D(A)= ​1000​0100​3−100​ ​

  • $$\begin{gathered} Dx=0和Ax=0是同解的方程组 \\ 由于r(D)=r(A)=2<n=3 \\ 所以{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3线性相关,存在n-r=3-2=1个自由变量(x_3) \\ 容易读出x_1+3x_3=0,x_2-1x_3=0 \\ {x}_1=-3x_3 \\ {x}_2=x_3 \\ 取x_3=-1,则得到一个特解(x_1,x_2,x_3{)}^T=(3,-1,-1{)}^T \\ 此时有3{\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3=0成立 \end{gathered}$$

• 设包含s个n维列向量组$\Phi ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$

  • $\Phi$对应的矩阵$A_{n\times s}=(\Phi )=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$

  • α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a n j ) , j = 1 , 2 , ⋯   , s \alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,s αj​= ​a1j​a2j​⋮anj​​ ​,j=1,2,⋯,s

  • 若$\Phi$内包含的向量个数s大于向量的维数(每个向量内含有的元素数)n,即$s>n$,则$\Phi$线性相关

• 对于方阵(s=n)

  • $\Phi$线性相关当且仅当$|A|=0$(即方阵A不满秩,$r(A)<s=n$),否则线性无关;

例

• 设某一个范德蒙行列式

  • ∣ V ∣ = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 α 1 α 2 α 3 ⋯ α n α 1 2 α 2 2 α 3 2 ⋯ α n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α 1 n − 1 α 2 n − 1 α 3 n − 1 ⋯ α n n − 1 ∣ n 记 β j = ( 1 α i α i 2 ⋮ α i n − 1 ) j = 1 , 2 , ⋯   , n ∣ V ∣ = ∣ β 1 , β 2 , ⋯   , β n ∣ 其中 α i , ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) 互不相等 则 ∣ V ∣ ≠ 0 , 从而向量组 Φ = β 1 , β 2 , ⋯   , β n 线性无关 |V| =\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &\cdots &1 \\ \alpha_{1}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\cdots &\alpha_{n} \\ \alpha_{1}^{2}&\alpha_{2}^{2}&\alpha_{3}^{2}&\cdots &\alpha_{n}^{2} \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ \alpha_{1}^{n-1}&\alpha_{2}^{n-1}&\alpha_{3}^{n-1}&\cdots &\alpha_{n}^{n-1} \\ \end{vmatrix}_{n} \\ 记\beta_j =\begin{pmatrix} 1 \\ \alpha_{i} \\ \alpha_{i}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{i}^{n-1}\\ \end{pmatrix} j=1,2,\cdots,n \\ |V|=|\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n| \\其中\alpha_i,(i=1,2,\cdots,n)互不相等 \\则|V|\neq{0},从而向量组\Phi=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n线性无关 ∣V∣= ​1α1​α12​⋮α1n−1​​1α2​α22​⋮α2n−1​​1α3​α32​⋮α3n−1​​⋯⋯⋯⋯​1αn​αn2​⋮αnn−1​​ ​n​记βj​= ​1αi​αi2​⋮αin−1​​ ​j=1,2,⋯,n∣V∣=∣β1​,β2​,⋯,βn​∣其中αi​,(i=1,2,⋯,n)互不相等则∣V∣=0,从而向量组Φ=β1​,β2​,⋯,βn​线性无关

定理

• 设向量组$\Phi ={\alpha }_i=a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{ni}(i=1,2,\cdots ,s)$

1

• 记向量组$\Phi$构成的矩阵$A=(\Phi )=({\alpha }_i)(i=1,2\cdots ,s)$;
  • 对于A是一般矩阵时:$\Phi$是否线性相关取决于$Ax=0$是否由非零解,即是满足:秩小于未知量个数$(r(A)<s)$
    • 当$r(A)=s$,$\Phi$线性无关
    • 但$r(A)<s$,$\Phi$线性相关
      • 如果n$r(A)⩽n<s$,即$r(A)<s$,$\Phi$线性相关
  • 对于A是方阵时($n=s$)
    • 当$|A|\ne 0$时,$\Phi$线性无关
    • 当$|A|=0$时,$\Phi$线性相关

2

• 对${\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,s)$的每个向量添加一个分量,得到$\Psi ={\beta }_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{ni},a_{n+1,i}{)}^T(i=1,2,\cdots ,s)$

• 若向量组${\alpha }_i$线性无关,则${\beta }_i$也线性无关

  • 从方程组解和直观理解:

    • 向量组内向量的维数n代表线性方程组的约束条件(约束方程)的数目
    • 对原向量组中每个向量增加一维,相当于增加一个约束方程
    • 向量组是否线性相关取决于方程组$Ax=0$是否有非零解,$其中A=(\Phi )$
    • n+1维向量组$Bx=0$,其中$B=(\Psi )$
    • 约束方程越多,方程组有非零解的可能性越小,对应向量组线性相关可能性越小
    • 而原方程已经线性无关($Ax=0$无解),那么$Bx=0$更不可能有解,即$\Psi$线性无关

  • 证明

    • 由于$\Phi$线性无关,则$Ax=0$只有零解
    • 而$\Psi x=0$的是$Ax=0$的基础上再增加一个约束方程
    • 所以$\Psi x=0$的解一定是$Ax=0$的解
      • 如果$\Psi x=0$存在非零解$\xi$,那么$\xi$一定也是$Ax=0$的解
      • 而$Ax=0$的解只有零解,从而$\xi$只可能是零解(否则发生矛盾)

• 类似的

  • 如果${\gamma }_i$是由${\alpha }_i$中每个向量增加$k⩾0$个分量,则由${\alpha }_i$线性无关可以推出${\gamma }_i$线性无关$(i=1,2,\cdots ,s)$
  • 如果${\delta }_i$是由${\alpha }_i$中每个向量减少$k⩾0$个分量,则由${\alpha }_i$线性相关可以推出${\delta }_i$线性相关$(i=1,2,\cdots ,s)$

向量组本身向量间相互关系

• 向量组$\Phi ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性相关的充要条件是:至少有一个向量${\alpha }_k,{\alpha }_k\in \Phi$能够被其余s-1个向量表示

  • 表出系数可以为全0
  • 包含零向量的向量组一定线性相关

• 证明:

  • 必要性:

    • 若$\Phi$线性相关,则存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_s$使得${\sum }_{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i=0$

    • 假设$k_p\ne 0,p\in \{1,2,\cdots ,n\}$,则

      • $${\alpha }_p=-\frac{1}{k_p}\sum _{i=1,i\ne p}{k}_i{\alpha }_i$$

  • 充分性:

    • 如果$\Phi$的某个向量可以别其他$s-1$个向量表示
      • 设${\alpha }_p=\sum _{i=1,i\ne p}{k}_i{\alpha }_i$
      • 则$(\sum _{i=1,i\ne p}{k}_i{\alpha }_i)+(-1)\times {\alpha }_p=0$
      • 也就是说当$k_p=-1$,总存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_s$使得$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$,$\Phi$线性相关

• 从该结论可以推出另一个结论:

  • 任意一个包含零向量的向量组总是线性相关的

    • 假设原向量组为$\Phi ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$,至少存在$k_i=0,(i=1,2,\cdots ,s)$使得

      • $\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$
      • 取${\alpha }_{s+1}=0$

    • 由于$k_{s+1}0=0,\forall k_{s+1}\in R$,所以

      • $$\sum _{i=1}^{s+1}{k}_i{\alpha }_i=(\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i)+k_{s+1}0=0+0=0$$

    • 所以包含零向量的向量组线性相关

  • 对于只含有2个向量${\alpha }_1,{\alpha }_2$的向量组,若两个向量成比例,则该向量组线性相关

  • 该结论的否命题也是成立的,即

    • 向量组$\Phi$(s>1)线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能被其他$s-1$个向量所组成的向量组线性表示

• 若向量组$\Phi ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关,而向量组$\Psi ={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性相关

  • 则$\beta$可以由向量$\Phi$线性表示,且表示法唯一.
  • 证明:
    • 由于$\Psi$线性相关,则存在$k_1,\cdots ,k_s,k_{s+1}$,使得$(\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i)+k_{s+1}\beta =0$
    • case1:若$k_{s+1}=0$则$(\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i)+k_{s+1}\beta =0$可以推出$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$
      • 而由$\Phi$线性无关知,只有$k_1,\cdots ,k_s=0$时,有$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$成立
      • 从而$k_1,\cdots ,k_s,k_{s+1}=0$,$\Psi$线性无关,和条件矛盾,从而$k_{s+1}\ne 0$
    • case2:$k_{s+1}\ne 0$,$\beta =-\frac{1}{k_{s+1}}\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i$
    • 再证明$\beta$的表示法唯一性
      • 设$\beta$可以被表示为$\beta =\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=\sum _{i=1}^s{l}_i{\alpha }_i$
      • 对两种表示方法做差:$\sum _{i=1}^s(k_i-l_i){\alpha }_i=0$
      • 而由$\Phi$线性无关知,只有$k_i-l_i=0(i=1,2,\cdots ,s)$时,有$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$成立
      • 从而$k_i=l_i(i=1,2\cdots ,n)$
      • 所以表示法唯一

• 如果向量组$\Phi$中的部分向量构成的子向量$\Psi$组线性相关,则$\Phi$也线性相关.

  • 设$\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,经过排序,$\Psi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r(r⩽s)$线性先关
    • 存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_r$使得$\sum _{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i=0$
    • 若$r<s$
      • 只需要令$k_{r+1},\cdots ,k_s=0$,使得
        • $(\sum _{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i)+\sum _{i=r+1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$
        • 在序列$k_1,\cdots ,k_r,\cdots ,k_s=k_1,\cdots ,k_r,0,\cdots ,0$中,至少存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_r$使得$\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i=0$
    • 若$r=s$,则$\Phi =\Psi$,显然$\Phi$因$\Psi$线性相关而线性相关
  • 从逆否命题的角度,等价的描述这个规律:
    • 如果$\Phi$线性无关,则$\Psi$也线性无关($\Psi 是\Phi$的部分向量组,$\Psi$非空)
    • 线性无关的向量组中一定没有成比例2个向量
    • 含有成比例的两个向量的向量组一定是线性相关的向量组

2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出@记号说明

• 设有两个同维向量组$\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,$\Psi ={\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$

• 若$\Psi$中的每个向量$\forall \beta ,\beta \in \Psi$都可以被$\Phi$线性表示,则称向量组$\Psi$可以有$\Phi$线性表示

• 若$\Psi$和$\Phi$可以相互线性表示,则称$\Psi \cong \Phi$,即两个向量组等价

  • 向量组等价的性质:
    • 反身性:每个向量组和自身等价$\Phi \cong \Phi$
    • 对称性:$\Phi \cong \Psi \Rightarrow \Psi \cong \Phi$
    • 传递性:$\Phi \cong \Psi ,\Psi \cong \Theta \Rightarrow \Phi \cong \Theta$

• 若$\Phi$可以由$\Psi$线性表示,则${\beta }_i=\sum _{j=1}^s{k}_{ji}{\alpha }_j(i=1,2,\cdots ,t)$

  • 记向量组构成的分块矩阵:

    • $A=(\Phi )=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)$,

    • $B=(\Psi )=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t)$

    • $K=(k_{ij}{)}_{s\times t}=(k_1,\cdots ,k_t)$,K的列向量记为$k_i,规格为s\times 1,(i=1,2,\cdots ,t)$

      • k i = ( k 1 i , k 2 i , ⋯   , k s i ) T = ( k 1 i k 2 i ⋮ k s i ) k_i=(k_{1i},k_{2i},\cdots,k_{si})^T =\begin{pmatrix} k_{1i} \\ k_{2i} \\ \vdots \\ k_{si} \\ \end{pmatrix} ki​=(k1i​,k2i​,⋯,ksi​)T= ​k1i​k2i​⋮ksi​​ ​

      • $k_i$是向量${\beta }_i$用$\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示的表出系数向量

  • 向量$\Psi$可以用$\Phi$表示可以写作方程组

    • $B=AK$

    • β i = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) ( k 1 i k 2 i ⋮ k n i ) \beta_i=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{1i} \\ k_{2i} \\ \vdots \\ k_{ni} \\ \end{pmatrix} βi​=(α1​,α2​,⋯,αs​) ​k1i​k2i​⋮kni​​ ​

被表出向量组的线性相关性

• 下面的结论分别指出$\Psi$分别在什么情况下是线性相关,线性无关的.

• 符号说明(参考上一节中的定义)

  • $A=(\Phi )=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)$,
  • $B=(\Psi )=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t)$

• 若$\Psi$可以被$\Phi$线性表示($B=AK$成立),建立齐次方程组$Kx=0$(K为$\Phi$表示$\Psi$的表出系数矩阵)

  • Note:仅有$B=AK$无法直接断定
  • 若$r(K)<t$,则$\Psi$线性相关
    • 证明:
      • 矩阵K规格为$s\times t$,
      • $r(K)<t$表明$Kx=0$存在非零解,将非零解记为$\xi$,则$K\xi =0$
      • 对表出方程$B=AK$两边同时右乘$\xi$,则$B\xi =AK\xi$,即$B\xi =A(K\xi )=A0=0$
      • $B=(\Psi )$,$\Psi ={\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$,由向量组线性相关的定义可知,$\Psi$线性相关.
  • 若$r(K)=t$且$\Phi$线性无关,则$\Psi$也线性无关
    • $\Psi$线性相关取决于齐次线性方程组$By=0$是否由非零解
      • 如果只有零解($y=0$),说明$\Psi$线性无关
    • 由$B=AK$,带入$By=0$,得$AKy=0$,(问题转换为讨论$AKy=0$)是否有非零解
    • 由于$\Phi$线性无关,$Ax=0$只有当$x=0$时成立(唯一解)
      • 因此$Ky$作为$Ax=0$的解,也就只可能是零向量$0$(即$Ky=0$)
      • 又由$r(K)=t$,则齐次线性方程$Ky=0$只有零解($y=0$)
      • 所以原方程$By=0$只有零解,因此$\Psi$线性无关

• 对于$K_{s\times t}$,若$s<t$,则$r(K)⩽s<t$,即$r(K)<t$,因此$Kx=0$有非零解

  • 若$\Psi$可以由$\Phi$线性表示$(B=AK)$,且$s<t$,则$\Psi$线性相关

    • $\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$,
    • $\Psi ={\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$
    • 记$N(\Phi )=s,N(\Psi )=t$描述向量组中含有的向量个数
    • 若向量组$\Phi$可以由$\Psi$线性表示$(\Phi )=K(\Psi )$:则由如下结论
      • 若$t<s$,则:$\Phi$线性相关
      • 若$\Phi$线性无关,则:$t⩾s$(结论$T$)
      • 上面两个命题互为逆否命题,因此具有相同的真假性(都为真,只是说法不同)
      • 根据上面的讨论可以看出,一个向量组具有越多的向量,则更可能具有更强的表示能力(表示其他向量组)
    • 利用上述结论$T$可以推得结论:
      • 两个线性无关的等价向量组含有相同个数的向量
        • 设$\Phi \cong \Psi$,且两者都线性无关则
          • $\Phi$可以由$\Psi$线性表出:$(\Phi )=(\Psi )K_1$,$t⩾s$
          • $\Psi$可以由$\Phi$线性表出:$(\Psi )=(\Psi )K_2$,$s⩾t$
          • 从而$s=t$

  • 特别的,若$K$是方阵(s=t)

    • 如果$\Psi$可以被$\Phi$线性表示(有$(\Psi )=(\Phi )K$成立),对于$Kx=0$:
      • 若$|K|=0$,(即有$r(K)<t$),则$\Psi$线性相关
      • 若$|K|\ne 0$,(即有$r(K)=t$),则$\Phi \cong \Psi$
        • 因为$|K|\ne 0$,K可逆,且$|K^{-1}|\ne 0$
        • 有$B=AK$两边同时右乘$K^{-1}$,则$B{K}^{-1}=A$,从而$A=B{K}^{-1}$,即$\Phi$可以被$\Psi$线性表出,$\Phi \cong \Psi$
      • ($\Psi$和$\Phi$具有相同的线性相关性)(待确认,ToDo)
        • 若$\Phi$线性无关,则$\Psi$也线性无关
        • 若$\Phi$线性相关,则$\Psi$也线性相关