【进击的算法】动态规划——01背包

本文主题：动态规划 01背包 背包问题 C/C++ 算法
更多算法：基础回溯算法 基础动态规划
我的主页：蓝色学者的主页

一、前言

很开心又和大家见面了，上次我们学习了基础算法——动态规划，那今天我们来一起学习一下的动态规划的进阶部分，通过一道很经典的动态规划题目，帮助大家掌握经典的01背包问题，之后我还会留下本节课的作业，感兴趣的话一起来看看吧~

二、概念

✔️动态规划概念

还记得我们上次文章讲解动态规划最重要的两个概念吗？

概念一：状态转移
概念二：Dp数组

如果你记不太清这两个概念，可以先去看我前面讲的基础动态规划，看完之后，再来尝试进阶动态规划会好很多~点我看基础动态规划

✔️01背包的概念

01背包问题简单来说就是，有i个物品，每个物品只有一个且有自己的价值value，把他们放到容量为j的背包里，问最大价值是多少？
这样解释后，我们就知道为什么叫背包问题了，可是还有一点不明确，为什么要叫01背包呢？

其实01只表示两个状态，选与不选，因为每种物品只有一件，我们只有这两种选择

三、问题描述与讲解

题目描述

有三块石头，重量分别为{1，3，4}；价值分别为{15，20，39}；背包容量为4
问：怎么装才能让背包价值最高？

✔️Dp数组

题目问我们最大价值是多少，因此我们Dp数组表示的就是最大价值，我们要思考这个值是怎么来的？
那最终价值都跟什么有关呢？无非就是物品和背包容量！这里大家可能会很懵，我举个例子

• 假设石头只有第0个，那么最大价值是dp[0][j] 表示将第0个~第0个物品放到容量为j的背包里所产生的最大价值
• 假设石头有第0个，第1个，那么最大价值是dp[1][j]表示将第0个~第1个物品放到容量为j的背包里所产生的最大价值

大家这样就理解了吧，虽然我们可以使用dp[j]直接去表示容量为j的最大价值（之后将状态压缩的时候会讲解如何压缩为一维数组）但这里我们用二维数组来表示

• dp数组的含义 dp[i][j] #表示将第0个~第i个物品放到容量为j的背包中所产生的最大价值！

✔️递推关系

当我们想不清楚递推关系的时候，不妨举个例子试着推导一下：如图

要求蓝色坐标位置的最大价值，我们来试着推导一下dp[1][2] ，就是让我们求有两个石块、背包容量为2的情况下的最大价值！

• 若不放物品1 ，那不久变成了只放物品0容量为2的背包的最大价值
• 若存放物品1 ，要事先预留下物品1的重量，结果就是除去物品1的重量后放前面物品产生的最大价值 + 物品1的价值

总结下来就是在这两种情况下选最大值，因此递推公式为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);

希望大家能仔细感悟上面两种情况，这是01背包和动态规划的精髓！

✔️dp数组如何初始化

当背包容量为0的时候，我们取不了任何元素，因此也就没有最大价值~我们初始化为0

• 第一行我们也需要初始化，为什么？观察我们的递推公式：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);

如图，dp[i][j] 的状态需要左上角的两个元素推导得出，但注意，红色箭头指的是左边某个元素，而不是正左上角！！

• 怎么初始化？
  我们先看第一行的含义是什么，即只把第0个物品放到容量为0，1，2，3…的背包中产生的最大价值

这里并不是一股脑地把第一行全都赋值为第0个物品的价值，而是判断背包容量能不能装得下第0个物品，装得下才赋值为第0个物品的价值

复制完后如图：

• 那其他元素的初始化呢？

其他元素由于是由其他元素推导得出，理论上可以是任何值，但不要忘了，我们在第一行元素初始化的时候，只对能装下物品0的元素赋值了，那装不下的背包应该赋值为多少？
当然是0！不然就会影响其他步骤判断！所以我们干脆就在一开始就初始化所有元素为0！

✔️打印dp数组

四、状态压缩-滚动数组

其实细心的同学已经发现了，我们递推关系中，指明第二行的元素全是由上两行元素推导得来，因此我们可以只创建一个一维数组，来简化代码，这又被称为滚动数组，实际上就是数据在不断被覆盖

实现这种代码比二维数组方式更为简单，大家可以去尝试一下，下次动态规划讲解，我们再重点讲解降维的思路

有两点需要注意：

一、必须先遍历物品，再遍历背包，因为我们是横向覆盖！不是纵向覆盖！
二、必须从右边向左边遍历，如果从左边向右边就会覆盖数据！因此我们是由左上角和正上方的数据推导而来！！

五、参考代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define row 3
#define BAGSIZE 4
#include 
#include 
#include 

int main()
{
	
	int weight[] = { 1,3,4 };
	int price[] = { 15,20,30 };
	
	int Dp[row][BAGSIZE+1] = { 0 }; 

	for (int i = 1; i < BAGSIZE+1; i++)
	{
		if(i >= weight[0])
			Dp[0][i] = price[0];
	}


	for (int i = 1; i < row; i++)
	{
		for (int j = 1; j < BAGSIZE+1; j++)
		{
			if (j-weight[i] >= 0)
			{
				Dp[i][j] = MAX(Dp[i - 1][j], Dp[i - 1][j - weight[i]] + price[i]);
			}
			else
			{
				Dp[i][j] = Dp[i-1][j];
			}

		}
	}


	for (int i = 0;i<row;i++)
	{
		for (int j = 0;j<BAGSIZE+1;j++)
		{
			printf("%d ", Dp[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
			
}

六、结语

到这里，本篇文章就结束了，本文算是动态规划比较有难度的题目，如果有任何不明白，大家可以多看几遍，熟能生巧~

如果你感觉有所收获，可以点赞 + 收藏 +关注 支持一下学者哦~ 我们下次见~