(七)转置卷积

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1.基础情况介绍

在语义分割任务使用的网络结构中，除了使用卷积神经网络进行降采样，为了恢复图像的大小，还需要使用转置卷积。转置卷积被称为transposed convolution，fractionally-strided convolution也有些地方称为deconvolution。转置卷积只是恢复的feature map的空间尺寸并不等同于卷积的逆运算，所以称之为deconvolution是不合适的。

为了简化介绍，假设通道channle=1,对于$n_h\times n_{\omega }$的输入和$k_h\times k_{\omega }$的卷积核，对于stride=1, padding=0的转置卷积，其计算过程为，将$k_h\times k_{\omega }$的卷积核在的输入的每一行每一列上滑动，得到$n_h{n}_{\omega }$个中间结果，每个中间结果的空间尺寸为$(n_h+k_h-1)\times (n_{\omega }+k_{\omega }-1)$,其值初时化为0，然后对于输入中的每个元素，与卷积核相乘得到$k_h\times k_{\omega }$的结果替换掉$(n_h+k_h-1)\times (n_{\omega }+k_{\omega }-1)$矩阵中的对应部分，最后将所有的中间结果相加得到最后的输出。

使用numpy数组实现上述过程为：

import numpy as np
X = np.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = np.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
def trans_conv(X, K):
    K = K.reshape((2,2))
    X = X.reshape((2, 2))
    h, w = X.shape
    kh, kw = K.shape
    o = np.zeros((h + kh - 1, w + kw - 1))
    for i in range(h):
        for j in range(w):
            o[i : i + h, j : j + w] += X[i][j] * K
    return o
    
trans_conv(X, K)
"""output
array([[ 0.,  0.,  1.],
       [ 0.,  4.,  6.],
       [ 4., 12.,  9.]])
"""

可见程序的输出与上图计算过程的结果一致。

借用pytorch中的ConvTranspose2d实现的计算的过程为:

import torch
import torch.nn as nn

X = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)
"""output
tensor([[[[ 0.,  0.,  1.],
          [ 0.,  4.,  6.],
          [ 4., 12.,  9.]]]], grad_fn=)
"""

可见这三个地方计算的结果是一致的。

2.使用paddding/stride/dilation/多通道时

2.1 stride

stride表示的是卷积核在输出张量上滑动的步长，前面的例子中使用的是stride=1的场景，在使用stride时，输出张量的空间尺寸$o_h$和$o_{\omega }$的计算方式为$o_h=(n_h-1)\times stride+(k_h-1)+1$， 如下图：

如上图中$n_h=n_{\omega }=3,k_h=k_{\omega }=2$,则$o_h=o_{\omega }=6$

使用pytorch验证上述计算过程，则

X = torch.range(0, 8).reshape((1, 1, 3,3))
K = torch.range(0, 3).reshape((1, 1, 2,2))
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
Y = tconv(X)
print(Y.shape)
print(Y)

"""output
torch.Size([1, 1, 6, 6])
tensor([[[[ 0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  2.],
          [ 0.,  0.,  2.,  3.,  4.,  6.],
          [ 0.,  3.,  0.,  4.,  0.,  5.],
          [ 6.,  9.,  8., 12., 10., 15.],
          [ 0.,  6.,  0.,  7.,  0.,  8.],
          [12., 18., 14., 21., 16., 24.]]]],
       grad_fn=)
"""

2.2 padding

padding是在transpose convolution计算过程中作用在输出张量上面的，因此计算结束后需要裁剪掉padding的大小。

如 (2.1)[###2.1 stride]中的例子，假设padding=1，则输出张量的最外围一圈将被裁剪掉，如下图：

此时
$$o_h=(n_h-1)\times stride+(k_h-1)+1-2\times padding$$
使用pytorch ConvTranspose2d API时，只需要加入padding=1参数即可，

X = torch.range(0, 8).reshape((1, 1, 3,3))
K = torch.range(0, 3).reshape((1, 1, 2,2))
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
Y = tconv(X)
print(Y.shape)
print(Y)
"""output
torch.Size([1, 1, 4, 4])
tensor([[[[ 0.,  2.,  3.,  4.],
          [ 3.,  0.,  4.,  0.],
          [ 9.,  8., 12., 10.],
          [ 6.,  0.,  7.,  0.]]]], grad_fn=)
"""

此外还有output_padding,这个是对转置卷积后输出的张量进行的扩充，这会增大输出张量的尺寸，不过pytorch ConvTranspose2d API的实现只对输出张量的一边(H,W较大的那一边)进行了扩充，因此其对输出张量空间尺寸的影响为：

$$o_h=(n_h-1)\times stride+(k_h-1)+1-2\times padding+output\_padding$$

2.3 dilation

dilation即扩张卷积，卷积核中存在空洞，因此也称空洞卷积。如下图是dilation=2的dilated convolution：

在Transposed Convolution中使用dilation时，输出的空间尺寸计算可参考下图：

由上图可得:

$$o_h=(n_h-1)\times stride+dilation\times (k_h-1)+1-2\times padding$$

$$o_h=2\times 2+2\times 1+1=7$$

使用pytorch验证上图中的例子，可得

X = torch.range(0, 8).reshape((1, 1, 3,3))
K = torch.range(0, 3).reshape((1, 1, 2,2))
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, dilation=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
Y = tconv(X)
print(Y.shape)
print(Y)

"""output
torch.Size([1, 1, 7, 7])
tensor([[[[ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  2.],
          [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [ 0.,  0.,  5.,  0., 11.,  0., 11.],
          [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [ 6.,  0., 23.,  0., 29.,  0., 23.],
          [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
          [12.,  0., 32.,  0., 37.,  0., 24.]]]],
       grad_fn=)
"""

综上，对于由padding/stride/dilation/output_padding时，输出张量的计算方式为：

$$o_h=(n_h-1)\times stride+dilation\times (k_h-1)+1-2\times padding+output\_padding$$

2.4 multi-channles

同常规的卷积操作，转置卷积对多通道的处理，同样是将每个卷积核在输入张量的各个维度上进行卷积，然后在将各个维度上的卷积结果相加求和即可。

如下代码示例，可见最后的输出正是两个通道上卷积结果求和所得：

X = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]],[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]],[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]]])
X, K = X.reshape(1, 2, 2, 2), K.reshape(2, 1, 2, 2)
tconv = nn.ConvTranspose2d(2, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)
"""output
tensor([[[[ 0.,  0.,  2.],
          [ 0.,  8., 12.],
          [ 8., 24., 18.]]]], grad_fn=)
"""

参考资料

• 1.https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.ConvTranspose2d.html
• 2.https://github.com/onnx/onnx/pull/2343/commits/09b3b64c99c1e18947b310d2688dc0187dcdccac
• 3.https://github.com/vdumoulin/conv_arithmetic/blob/master/README.md
• 4.https://d2l.ai/chapter_computer-vision/transposed-conv.html

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