10.转置卷积

视频：47 转置卷积【动手学深度学习v2】_哔哩哔哩_bilibili

教材：13.10. 转置卷积 — 动手学深度学习 2.0.0-beta0 documentation (d2l.ai)

PPT：part-2_14.pdf (d2l.ai)

代码：transposed-conv slides (d2l.ai)

转置卷积是一种卷积

视频：47.2 转置卷积是一种卷积【动手学深度学习v2】_哔哩哔哩_bilibili

PPT:part-2_15.pdf (d2l.ai)

总结

• 转置卷积是一种变化了输入和核的卷积，来得到上采样的目的。
• 不等同于数学上的反卷积操作。

代码

sec_transposed_conv

到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层（ :numref:sec_conv_layer）和池化层（ :numref:sec_pooling），通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。 然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。 例如，输出像素所处的通道维度可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。

为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。 在本节中，我们将介绍 转置卷积（transposed convolution） :cite:Dumoulin.Visin.2016， 用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。

In [1]:

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

基本操作

让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。 假设我们有一个_ℎ×的输入张量和一个_ℎ×的卷积核。 以步幅为1滑动卷积核窗口，每行次，每列_ℎ次，共产生_ℎ个中间结果。 每个中间结果都是一个(_ℎ+_ℎ−1)×(+−1)的张量，初始化为0。 为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的_ℎ×张量替换中间张量的一部分。 请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。 最后，所有中间结果相加以获得最终结果。

例如， :numref:fig_trans_conv解释了如何为2×2的输入张量计算卷积核为2×2的转置卷积。

卷积核为 $2\times 2$ 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。

fig_trans_conv

我们可以对输入矩阵X和卷积核矩阵K(实现基本的转置卷积运算)trans_conv。

In [2]:

def trans_conv(X, K):
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1))
    for i in range(X.shape[0]):
        for j in range(X.shape[1]):
            Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K
    return Y

与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积（在 :numref:sec_conv_layer中）相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。 我们可以通过 :numref:fig_trans_conv来构建输入张量X和卷积核张量K从而[验证上述实现输出]。 此实现是基本的二维转置卷积运算。

In [3]:

X = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
trans_conv(X, K)

Out[3]:

tensor([[ 0.,  0.,  1.],
        [ 0.,  4.,  6.],
        [ 4., 12.,  9.]])

或者，当输入X和卷积核K都是四维张量时，我们可以[使用高级API获得相同的结果]。

In [4]:

X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

Out[4]:

tensor([[[[ 0.,  0.,  1.],
          [ 0.,  4.,  6.],
          [ 4., 12.,  9.]]]], grad_fn=<SlowConvTranspose2DBackward>)

[填充、步幅和多通道]

与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于输出（常规卷积将填充应用于输入）。 例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。

有padding的转置卷积结果：指的是无padding时的结果减去填充的padding

In [5]:

tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

Out[5]:

tensor([[[[4.]]]], grad_fn=)

在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。 使用 :numref:fig_trans_conv中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在 :numref:fig_trans_conv_stride2中。

卷积核为$2\times 2$，步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。

fig_trans_conv_stride2

以下代码可以验证 :numref:fig_trans_conv_stride2中步幅为2的转置卷积的输出。

In [6]:

tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

Out[6]:

tensor([[[[0., 0., 0., 1.],
          [0., 0., 2., 3.],
          [0., 2., 0., 3.],
          [4., 6., 6., 9.]]]], grad_fn=)

对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。 假设输入有个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个_ℎ×的卷积核张量。 当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个×_ℎ×的卷积核。

同样，如果我们将代入卷积层来输出=()，并创建一个与具有相同的超参数、但输出通道数量是中通道数的转置卷积层，那么()的形状将与相同。 下面的示例可以解释这一点。

In [7]:

X = torch.rand(size=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape

Out[7]:

True

[与矩阵变换的联系]

subsec-connection-to-mat-transposition

转置卷积为何以矩阵变换命名呢？ 让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。 在下面的示例中，我们定义了一个3×3的输入X和2×2卷积核K，然后使用corr2d函数计算卷积输出Y。

In [8]:

X = torch.arange(9.0).reshape(3, 3)
K = torch.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y

Out[8]:

tensor([[27., 37.],
        [57., 67.]])

接下来，我们将卷积核K重写为包含大量0的稀疏权重矩阵W。 权重矩阵的形状是（4，9），其中非0元素来自卷积核K。

In [9]:

def kernel2matrix(K):
    k, W = torch.zeros(5), torch.zeros((4, 9))
    k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
    W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
    return W

W = kernel2matrix(K)
W

Out[9]:

tensor([[1., 2., 0., 3., 4., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 1., 2., 0., 3., 4., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 1., 2., 0., 3., 4., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 1., 2., 0., 3., 4.]])

逐行连结输入X，获得了一个长度为9的矢量。 然后，W的矩阵乘法和向量化的X给出了一个长度为4的向量。 重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果Y：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。

In [10]:

Y == torch.matmul(W, X.reshape(-1)).reshape(2, 2)

Out[10]:

tensor([[True, True],
        [True, True]])

同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。 在下面的示例中，我们将上面的常规卷积2×2的输出Y作为转置卷积的输入。 想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵W的形状转置为(9,4)。

In [11]:

Z = trans_conv(Y, K)
Z == torch.matmul(W.T, Y.reshape(-1)).reshape(3, 3)

Out[11]:

tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

抽象来看，给定输入向量和权重矩阵，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量=来实现。 由于反向传播遵循链式法则和∇=^⊤，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵⊤相乘来实现。 因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与^⊤和相乘。

小结

• 与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。
• 如果我们将输入卷积层来获得输出=()并创造一个与有相同的超参数、但输出通道数是中通道数的转置卷积层，那么()的形状将与相同。
• 我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。

练习

1. 在 :numref:subsec-connection-to-mat-transposition中，卷积输入X和转置的卷积输出Z具有相同的形状。他们的数值也相同吗？为什么？
2. 使用矩阵乘法来实现卷积是否有效率？为什么？

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