热学
- 热力学第零定律
- 气体分子动理论
  - 理想气体状态方程
  - 压强
    - 理想气体压强公式
    - 大气压强
    - 压强与密度的关系
  - 气体分子自由度
  - 气体分子的三种速率
  - 气体的能量
    - 气体分子的能量
  - 理想气体的内能
  - 分子平均自由程
  - 范德瓦尔斯方程
    - 例题
- 理想气体的内能
- 功
- 热量
- 热力学第一定律
- 气体的热容
  - 摩尔热容
  - 摩尔定容热容
  - 理想气体摩尔定容热容
  - 摩尔等压热容
  - 理想气体摩尔定压热容
  - 比热比
  - 迈耶公式
- 等温过程
- 绝热过程
  - 绝热过程方程
- 理想气体等值和绝热过程公式表
- 循环过程
  - 正循环
  - 热机
  - 逆循环
  - 制冷机
  - 循环的特点
  - 热机效率
  - 制冷系数
  - 奥托循环
  - 卡诺循环
  - 卡诺逆循环
  - 卡诺定理
- 热力学第二定律
- 熵
  - 理想气体经历可逆过程的熵的变化
  - 玻尔兹曼关系
  - 理想气体自由膨胀中的熵增

热学

热力学第零定律

如果两个系统分别与第三个系统的同一状态处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡

气体分子动理论

理想气体状态方程

普适气体常量：
- 描述气体行为的普适常量

玻尔兹曼常量：
- 描述一个分子或一个粒子行为的普适常量

气体分子数密度：
- 为单位体积气体内分子数
- Loschmidt 数：标况下体积中气体分子数:

压强

理想气体压强公式

大气压强

压强与密度的关系

推导过程：

$\begin{aligned} pV = \nu RT &\Rightarrow p = \frac{\nu}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{\frac{m}{M}}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow p = \rho \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow \rho = \frac{pM}{RT} \end{aligned}$

气体分子自由度

分子种类	平动自由度	转动自由度	总自由度
单原子分子	3	0	3
刚性双原子分子	3	2	5
刚性多原子分子	3	3	6

气体分子的三种速率

方均根速率：
- 计算分子平均平动动能

最可几速率：
- 讨论分子速率分布
平均速率：
- 计算分子运动的平均自由程

单位：

气体的能量

气体分子的能量

理想气体分子的平均平动动能：
气体分子平均总动能：
- 单原子分子：
- 刚性双原子分子：
- 刚性多原子分子：

气体分子平均总能量：
- 谐振子在一个周期内的平均动能和平均势能是相等的
- ：振动自由度

理想气体的内能

分子平均自由程

：平均碰撞次数/频率
- ：单位体积内气体分子数
- ：分子直径

：平均自由程
- $\begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{\overline{z}} \\\\ \overline{z} = \sqrt{2} n \pi d^2 \overline{v} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} \\\\ p = nkT \end{cases} \Rightarrow \overline{\lambda} = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$

范德瓦尔斯方程

气体的范德瓦尔斯方程：
对于质量为的气体的范德瓦尔斯方程：

例题

由范德瓦尔斯方程，证明气体在临界状态下的温度及压强以及体积为

（提示：由范德瓦尔斯方程写出的三次方程，对于临界点，以，代入对求解，应得的三重解）

解：

方程两边同时乘以得

有重根：

对应系数相等：
$\begin{cases} 3V_C = \frac{pb + RT}{p} \\\\ 3{V_C}^2 = \frac{a}{p} \\\\ {V_C}^3 = \frac{ab}{p} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} V_C = 3b \\\\ P_C = \frac{a}{27b^2} \\\\ T_C = \frac{8a}{27bR} \end{cases}$

理想气体的内能

功

热量

热力学第一定律

外界对系统传递的热量，一部分是使系统的内能增加，另一部分是用于系统对外做功
- 在任何一个热力学过程中，系统所吸收的热量等于系统内能的增量与系统对外做功
微分形式

气体的热容

摩尔热容

1 mol 物质，温度升高 1K 所吸收的热量

摩尔定容热容

1 mol 气体在体积不变的条件下，温度改变 1K 或（1°C）所吸收或放出的热量，用表示

理想气体摩尔定容热容

摩尔等压热容

1 mol 气体在压强不变的条件下，温度改变 1K 所需要的热量，用表示

理想气体摩尔定压热容

$\begin{aligned} \frac{m}{M}C_{p, m}dT = \delta Q_p &= dE + dW = dE + pdV = dE + \frac{m}{M} RdT \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) = Q_p &= E_2 - E_1 + \frac{m}{M} R(T_2 - T_1) \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) &= \frac{m}{M} C_{V, m}(T_2 - T_1) + \frac{m}{M}R(T_2 - T_1) \\\\ C_{p, m} &= C_{V, m} + R \\\\ C_{p, m} &= \frac{i + 2}{i}R \end{aligned}$

比热比

理想气体的比热比（摩尔热容比）：
- 单原子：
- 刚性双原子：
- 刚性多原子：

迈耶公式

等温过程

特点： = 0

$\begin{aligned} Q_T &= A = \int_{V_1}^{V_2} pdV \\\\ &= \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1 V_1}{V} dV \\\\ &= p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = p_1 V_1 \ln \frac{p_1}{p_2} \\\\ &= \nu RT \ln \frac{V_2}{V_1} = \nu RT \ln \frac{p_1}{p_2} \end{aligned}$

绝热过程

特点：

绝热过程方程

- 式中为比热比

理想气体等值和绝热过程公式表

准静态过程	功	热量	内能增量	摩尔热容
等容过程	0
等压过程	或
等温过程	或	或	0	∞
绝热过程		0		0

循环过程

正循环

顺时针方向闭合曲线

热机

作正循环的设备称为热机

逆循环

逆时针方向闭合曲线

制冷机

作逆循环的设备称为制冷机

循环的特点

系统经历一个循环后内能不变
- 系统吸收（或放出）的净热量等于系统对外做的净功（或外界对系统做的净功）

热机效率

工质从高温热源吸取热量，其中一部分热量传给低温热源，同时工质对外做功

制冷系数

工质从低温热源吸取热量，接受外界对工质所做的功，向高温热源传递热量

奥托循环

$\begin{aligned} 爆炸等容过程吸热 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_d - T_c) \\\\ 排气等容过程放热 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_e - T_b) \\\\ \eta &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} \\\\ T_e V^{\gamma - 1} &= T_d V^{\gamma - 1}，T_b V^{\gamma - 1} = T_3 V^{\gamma - 1}_0 \\\\ \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} &= (\frac{V_0}{V})^{\gamma - 1} \\\\ \eta &= 1 - \frac{1}{(\frac{V}{V_0})^{\gamma - 1}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} \end{aligned}$

卡诺循环

在两个温度恒定的热源（一个高温热源，一个低温热源）之间工作
由两个准静态的等温过程和两个准静态的绝热过程组成

$\begin{aligned} 从高温热源吸取热量 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} RT_1 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ 向低温热源放出热量 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} \\\\ 应用绝热过程方程 \\ T_1 V_2^{\gamma - 1} &= T_2 V_3^{\gamma - 1}, T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_4^{\gamma - 1} \\\\ (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1} &= (\frac{V_3}{V_4})^{\gamma - 1}, \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \\\\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} = \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ \frac{Q_1}{T_1} &= \frac{Q_2}{T_2} \\\\ \eta_C &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \end{aligned}$

卡诺逆循环

制冷系数：

卡诺定理

在同样高低温热源（高温热源的温度为，低温热源的温度为）之间工作的一切可逆热机，无论用什么工作物，效率都等于
在同样高低温热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于（实际上是小于）可逆机，即

热力学第二定律

开尔文表述：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用的功，而不产生其他影响
克劳修斯表述：热量不可能自动地从低温物体传向高温物体

例：试证在图上两条绝热线不能相交

假定两条绝热线与在图上相交于一点A.
现在，在图上再画一条等温线，使它与两条绝热线组成一个循环.
这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转化为功即，并使周围没有变化
显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线不能相交

熵

- 与路径无关，只与初末状态有关
可逆循环中熵变为 0
绝热过程等熵

理想气体经历可逆过程的熵的变化

推导：

玻尔兹曼关系

- k：玻尔兹曼常量，
- W：系统宏观状态所包含的微观状态数

大学普通物理公式——热学

热学

热力学第零定律

气体分子动理论

理想气体状态方程

压强

理想气体压强公式

大气压强

压强与密度的关系

气体分子自由度

气体分子的三种速率

气体的能量

气体分子的能量

理想气体的内能

分子平均自由程

范德瓦尔斯方程

例题

理想气体的内能

功

热量

热力学第一定律

气体的热容

摩尔热容

摩尔定容热容

理想气体摩尔定容热容

摩尔等压热容

理想气体摩尔定压热容

比热比

迈耶公式

等温过程

绝热过程

绝热过程方程

理想气体等值和绝热过程公式表

循环过程

正循环

热机

逆循环

制冷机

循环的特点

热机效率

制冷系数

奥托循环

卡诺循环

卡诺逆循环

卡诺定理

热力学第二定律

熵

理想气体经历可逆过程的熵的变化

玻尔兹曼关系

理想气体自由膨胀中的熵增

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