数值分析0 - 课程介绍、基本用途、目录

一、 数值分析是什么？内容？

百度百科：它作为为数学的一个分支，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。

                  它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。

 

作者理解：* 该学科是一门面向计算机的数学处理方法学习课程。将大学高数之中，人来做的微分、积分问题，简化

                  成电脑就能运算的简单问题（比如积分，人做的时候就要背变换对。那么直接变成，无非就是把变换对

                  进行枚举，识别需要计算的积分式子属于什么形式再调用组合。可是这样对计算机太过麻烦）。甚至某些

                  计算很复杂的非线性组合积分、微分、常微分、数据拟合问题也能通过数值分析的内容方法很方便地得到

                  解决（可以用于算法加速）。

                  * 此外，数值分析还包括从单个问题，如何变成批量问题处理的方法（即使用矩阵运算）。在传统数学教育

                   中，往往学习的是单个问题的抽象处理方式。但是在现实工程数据处理中，往往都是对同一问题的很多个

                   测试组进行运算，那么学习如何转变思维，得到问题批量数据处理的思维是至关重要的。

 

中心思想：化繁为简。绕路近似问题的解，结合计算机的“反复运算”特点，将一般问题转换成迭代近似问题解的过程。

 

二、课程相关书籍推荐

[1] 白峰杉, 数值计算引论 (高教)  ☆

[2] C. Moler, Numerical Computing with Matlab☆☆☆

[3] T. Saucer, Numerical Analysis ☆☆☆

[4] G. Strang, Linear Algebra and Learning from Data ☆☆☆☆

[5] G. Strang, Computational Science & Engineering ☆☆☆☆

[6] J. Kiusalaas, Numerical Methods in Engineering with MATLAB (or Pyhton) ☆☆

[7] 王能超, 算法演化论(高教) ☆☆

 

三、目录（本博客分区仅介绍其中部分主要内容）

第二章 线性代数方程组的直接解法
   §1 Gauss消去法
      1.1 顺序消去与回代过程
      1.2 顺序消去能够实现的条件
      1.3 矩阵的三角分解
   §2 选主元素的消去法
      2.1 有换行步骤的消去法
      2.2 矩阵三角分解定理的推广
      2.3 选主元素的消去法
   §3 直接三角分解方法
      3.1 Doolittle分解方法
      3.2 对称矩阵的三角分解、Cholesky方法
      3.3 带状矩阵方程组的直接方法
   §4 矩阵的条件数、直接方法的误差分析
      4.1 扰动方程组与矩阵的条件数
      4.2 病态方程组的解法
      4.3 列主元素消去法的舍入误差分析

第三章 线性代数方程组的迭代解法
   §1 迭代法的基本概念
      1.1 向量序列和矩阵序列的极限
      1.2 迭代公式的构造
      1.3 迭代法收敛性分析
   §2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
      2.1 Jacobi迭代法
      2.2 Gauss-Seidel迭代法
      2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性
   §3 超松弛迭代法
      3.1 逐次超松弛迭代公式
      3.2 SOR迭代法的收敛性
      3.3 最优松弛因子
      3.4 对称超松弛迭代法
   §4 共轭梯度法
      4.1 与方程组等价的变分问题
      4.2 最速下降法
      4.3 共轭梯度法
      4.4 预处理共轭梯度方法

第四章 非线性方程和方程组的数值解法
   §1 区间对分法
   §2 单个方程的不动点迭代法
      2.1 不动点和不动点迭代法
      2.2 迭代法在区间［a,b］上的收敛性
      2.3 局部收敛性与收敛阶
   §3 迭代加速收敛的方法
      3.1 Aitken加速方法
      3.2 Steffensen迭代法
   §4 Newton迭代法和割线法
      4.1 Newton迭代法的计算公式
      4.2 局部收敛性和全局收敛性
      4.3 重根情形
      4.4 割线法
   §5 非线性方程组的不动点迭代法
      5.1 向量值函数的连续性和导数
      5.2 压缩映射和不动点迭代法
   §6 非线性方程组的Newton迭代法和拟Newton迭代法
      6.1 Newton迭代法
      6.2 拟Newton迭代法

第五章 矩阵特征值问题的数值方法
   §1 特征值的估计和扰动
      1.1 特征值的估计
      1.2 特征值的扰动
   §2 正交变换和矩阵因式分解
      2.1 Householder变换
      2.2 Givens变换
      2.3 矩阵的QR因式分解
      2.4 矩阵的Schur因式分解
   §3 幂迭代法和逆幂迭代法
      3.1 幂迭代法
      3.2 加速技术
      3.3 逆幂迭代法
      3.4 收缩方法
   §4 QR方法
      4.1 基本QR方法
      4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式
      4.3 Hessenberg矩阵的QR方法
      4.4 带有原点位移的QR方法
      4.5 双重步QR方法
   §5 对称矩阵特征值问题的计算
      5.1 对称矩阵特征值问题的性质
      5.2 Rayleigh商迭代法
      5.3 Jacobi方法
      5.4 对称矩阵的QR方法

第六章 插值法
   §1 Lagrange插值
      1.1 Lagrange插值多项式
      1.2 插值余项及其估计
      1.3 线性插值和二次插值
      1.4 关于插值多项式的收敛性问题
   §2 均差与Newton插值多项式
      2.1 均差及其性质
      2.2 Newton插值多项式
      2.3 差分及其性质
      2.4 等距节点的Newton插值公式
   §3 Hermite插值
      3.1 Hermite插值多项式
      3.2 重节点均差
      3.3 Newton形式的Hermite插值多项式
      3.4 一般密切插值(Hermite插值)
   §4 三次样条插值
      4.1 分段线性插值及分段三次Hermite插值
      4.2 三次样条插值函数
      4.3 三次样条插值函数的计算方法
      4.4 数值例子
      4.5 三次样条插值函数的误差估计

第七章 函数逼近
   §1 正交多项式
      1.1 正交多项式的基本概念及性质
      1.2 Legendre多项式
      1.3 Laguerre多项式
      1.4 Hermite多项式
   §2 Chebyshev多项式
      2.1 Chebyshev多项式基本性质
      2.2 极小化性质与Chebyshev多项式零点插值
   §3 函数的最佳平方逼近
      3.1 最佳平方逼近的概念及计算
      3.2 用正交函数组作最佳平方逼近
      3.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近
   §4 Padé逼近
      4.1 Padé逼近
      4.2 连分式
   §5 数据拟合
      5.1 最小二乘曲线拟合及其计算
      5.2 多项式拟合
      5.3 线性化方法
      5.4 用正交多项式作最小二乘曲线拟合
      5.5 非多项式拟合
   §6 线性最小二乘问题的解法
      6.1 线性最小二乘问题
      6.2 QR分解
      6.3 用QR分解求解线性最小二乘问题
   §7 周期函数的最佳平方逼近
      7.1 周期函数的最佳平方逼近
      7.2 离散情形
      7.3 周期复值函数

第八章 数值积分与数值微分
   §1 数值积分的基本概念
      1.1 代数精度
      1.2 插值型求积公式
   §2 Newton-Cotes求积公式
      2.1 梯形公式和Simpson求积公式
      2.2 Newton-Cotes求积公式
      2.3 Newton-Cotes求积公式的误差分析
      2.4 开(型)Newton-Cotes求积公式
      2.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性
   §3 复合求积公式
      3.1 复合梯形求积公式
      3.2 复合Simpson求积公式
      3.3 带有导数值的求积公式及其复合公式
   §4 Gauss求积公式
      4.1 Gauss求积公式
      4.2 Gauss求积方法的收敛性和稳定性
      4.3 Gauss-Legendre求积公式
      4.4 Gauss-Chebyshev求积公式
      4.5 Gauss-Laguerre求积公式
      4.6 Gauss-Hermite求积公式
   §5 Romberg求积方法
      5.1 Euler-Maclaurin求和公式
      5.2 Richardson外推方法
      5.3 Romberg求积方法
   §6 自适应Simpson求积方法
   §7 奇异积分的数值计算
      7.1 区间截断
      7.2 变量替换
      7.3 Kontorovich奇点分离法
   §8 数值微分
      8.1 数值微分公式
      8.2 数值微分的外推算法

第九章 常微分方程初值问题的数值解法
   §1 常微分方程初值问题
   §2 Euler方法
      2.1 显式Euler方法
      2.2 隐式Euler方法
      2.3 梯形方法及改进的Euler方法
   §3 显式单步法
      3.1 截断误差
      3.2 相容性
      3.3 收敛性
      3.4 关于初值的稳定性
      3.5 绝对稳定性
   §4 Runge-Kutta方法
      4.1 用Taylor展开构造高阶数值方法
      4.2 显式Runge-Kutta方法
      4.3 显式Runge-Kutta方法的性质
      4.4 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法
      4.5 变步长的Runge-Kutta方法
   §5 线性多步法
      5.1 一般形式的线性多步法
      5.2 基于数值积分的方法
      5.3 Adams方法
      5.4 预估校正方法
   §6 线性多步法的相容性、收敛性及稳定性
      6.1 相容性及方法的阶
      6.2 收敛性
      6.3 稳定性
      6.4 绝对稳定性
   §7 一阶方程组
      7.1 一阶方程组
      7.2 高阶微分方程的初值问题
      7.3 刚性微分方程组