人工智能概论知识要点（三）

四、谓词逻辑表示与推理技术

数理逻辑包括命题逻辑、谓词逻辑。
4.1命题逻辑
联结词和复合命题
上述诸如“没有”、“如果··· 那么···”等连词称为联结词。
由联结词和命题连接而成的更加复杂的命题称为复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的命题称为简单命题。
复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。
• “相容或”与“相斥或”
• 日常语言中“或”有两种标准用法, 例如:
(1) 张三或者李四考了90分。
(2) 第一节课上数学课或者上英语课。
•差别在于：当构成它们的简单命题都真时，前者为真，后者却为假。
前者称为“相容或”，后者称为“相斥或”。 前者(“相容或”)可表示为p∨q，后者却不能。
注意：不能见了或就表示为p∨q。
例题：如果我下班早, 就去商店看看, 除非我很累。
解： ((¬p)∧q))→r ，其中: p代表“我很累”, q代表“我下班早”, r代表“我去商店看看” 。
原子公式：单个命题变元、单个命题常元称为原子公式。
命题公式：由如下规则生成的公式称为命题公式：

1. 单个原子公式是命题公式。
2. 若A ,B是命题公式，则¬A , A∧ B , A∨ B , A→B是命题公式。
3. 所有命题公式都是有限次应用1、2得到的符号串。
   命题公式的解释：给命题公式中的每一个命题变元指定一个真假值，这一组真假值，就是命题公式的一个解释。用I表示。
   永真公式与永假公式：如果公式在它所有的解释I下，其值都为T，则称公式G为恒真的；如果其值都为F，则称公式G为恒假的（不可满足的）。
   等价命题公式
   P → Q = ¬P∨ Q
   分配律：P ∨ (Q∧ R)=(P ∨Q) ∧ (P ∨R)
   P∧ (Q∨ R)=(P ∧Q)∨ (P∧R)

4.2谓词逻辑
命题逻辑虽然能够把客观世界的各种实事表示为逻辑命题，但具有很大局限性，不适合表达比较复杂的问题；而谓词逻辑则允许我们表达那些无法用命题逻辑表达的事情。
谓词
一般来说，“x是A”类型的命题可以用A(x)表达。
对于“x大于y”这种两个个体之间关系的命题，可表达为B(x,y)， 这里B表示“…大于…”谓词。
A(x)称为一元谓词，B(x, y)称为二元谓词，M(x, y, z)称为三元谓词；依次类推，通常把二元以上谓词称作多元谓词。
用P(x1,x2,…xn)表示一个n元谓词公式 其中P为n元谓词，x1,x2,…xn为客体变量或变元。
谓词逻辑的语法元素表示如下：
常量（个体符号）:A、B、张三、李四等等，通常是对象的名称。
变量符号：习惯上用小写字母表示，如x、y、z等。
函数符号：习惯上用小写英文字母或小写英文字母串表示，如f、g等。
谓词符号：习惯上用大写英文字母或首字母大写的英文字母串表示。
联结词（连词）：谓词逻辑中所使用的联结词和命题逻辑中所使用的联结词一样。
结合力的强弱顺序： ¬， ∧，∨， →
量词
 全称量词（Universal Quantifiers )
 若一个原子公式 P(x)，对于所有可能变量x都具有T值,则用(∀x)P(x)表示。
 例：所有学生都穿彩色制服。(∀x)[Student(x)  Uniform(x, Color)]
存在量词（Existential Quantifiers )
 若一个原子公式P(x), 至少有一个变元x可使 P(x)为T值, 则用(∃x)P(x)表示。
 例：1号房间内有个物体 (∃x)Inroom(x,r1)
一阶谓词演算不允许对谓词符号或函数符号进行量化。
量词的辖域
定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端有括号。

原子谓词公式
• 用P(x1,x2,…xn)表示一个n元谓词公式 其中P为n元谓词 ，x1,x2,…xn为客体变量或变元。通常把P(x1,x2,…,xn)叫做谓词演算的原子公式。
1.原子谓词公式是合式公式。
2.若A为合式公式，则¬A也是一个合式公式。
3.若A和B都是合式公式，则（A∧B）,（A∨B）也都是合式公式。
4.若A是合式公式，x为A中的自由变元，则(∀x)A和(∃x)A都是合式公式。
5.只有按上述1至4规则求得的那些公式，才是合式公式。

于是我们设想有一个集合，它包括谓词中各个变元的所有个体域，我们称它为全总个体域。 用了全总个体域后，个体变元取值范围一致了，但不同的论述对象，需要不同的特性谓词再加以刻画。
置换&合一
一个表达式的置换就是在该表达式中用置换项置换变量。
置换（Subtitution)是形如{ t1/x1 , t2/x2 , …， tn/xn}的有限集合。其中，ti是不同于xi的项（常量、变量、函数）；x1 ,x2 ,…,xn是互不相同的变量； ti/xi表示用ti代换xi。
例子：
{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换;
{x/x}, {y/f(x)}不是置换;

合一：寻找项对变量的置换，以使两表达式一致。
如果一个置换s作用于表达式集{Ei}的每个元素，则我们用{Ei }s来表示置换例的集。
称表达式集{Ei}是可合一的，如果存在一个置换s，使得：E1s= E2 s= E3 s=…
我们称此s为{Ei}的合一者，因为s的作用是使集合{Ei}成为单一形式。

4.3消解原理

4.4子句集的求取

4.5消解反演

应用消解原理证明定理的过程称为消解（归结）反演。
设F为已知前提的公式集，Q为目标公式(结论)，用消解反演进行证明的步骤是：
1.否定Q，得到¬Q；
2.把¬Q并入到公式集F中，得到{F, ¬Q};
3.把公式集{F, ¬Q}化为子句集S；
4.应用消解推理规则对子句集S中的子句进行消解，并把每次消解得到的消解式都并入S中。如此反复进行，若出现了空子句，则停止消解。
空子句不含有文字,它不能被任何解释满足,所以空子句是永假的,不可满足的.消解过程出现空子句,说明出现互补文字,说明S中有矛盾, 因此S是不可满足的。