数值分析：数值积分与数值微分

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1 数值积分概述

1.1 引言

  对于许多实际问题的求解往往需要计算积分。在高等数学中计算积分采用的是著名的牛顿--莱布尼兹公式：这里是的原函数。从理论上来说这个公式很完善，但是这个公式在实际应用中使用是很困难的。原因有3点：

• 求解原函数往往是很困难的；
• 大部分积分即使求解出了原函数，其形式往往很复杂，计算过程中舍入误差很大；
• 当是由测量或数值计算给出的数表时，牛顿--莱布尼兹公式也不能运用。

  因此研究积分的数值计算方法是很有必要的。

1.2 数值积分基本方法

• 插值法
    在积分区间上取一组点：，构造函数的次拉格朗日插值多项式为其中这里从而得到以下数值积分公式（机械求积公式）：其中求积系数通过插值基函数的积分得到，即为插值型求积公式由第4章的拉格朗日插值余项定理可知，插值型的求积公式的余项为

1.3 代数精度（重要！！）

定义1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度

求解方法：要使求积公式具有次代数精度，只要令它对于能够准确成立，而对于不能准确成立即可，公式如下：

定理1 对给定的个互异节点，总存在求积系数使得机械求积公式至少具有次代数精度

定理2 机械求积公式至少具有次代数精度的充要条件是它是插值型的。

1.4 求积公式的稳定性与收敛性

（暂略）

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2 牛顿--柯特斯公式

2.1 牛顿-柯特斯公式的建立

  求积节点在内等距分布式，插值型求积公式称为牛顿--柯特斯(Newton-Cotes)求积公式，下面给出具体形式：
  在上取个等距节点，其中，令得到：其中 称为柯特斯系数（可以通过查表获得）

柯特斯系数具有如下性质：

• ；

2.2 低阶牛顿-柯特斯公式

• 梯形公式
  当时，牛顿-柯特斯公式变为
  这就是梯形公式，容易验证其具有一次代数精度。
  余项表示为：在内存在一点，使得
• 辛普森(Simpson)公式
  当时，牛顿-柯特斯公式变为其中这就是辛普森(Simpson)公式，容易验证它具有三次代数精度。
  余项表示为：在内存在一点，使得
• 柯特斯(Cotes)公式
  当时，牛顿-柯特斯公式简称为柯特斯(Cotes)公式，具有五次代数精度。
  余项表示为：在内存在一点，使得

2.3 复化牛顿-柯特斯公式

• 复化梯形公式
  将区间等分，自区间长度，于是有复化梯形公式其余项公式为:在内存在一点
• 复化辛普森公式
  设子区间的中点，复化辛普森公式为其余项公式为：在内存在一点
• 算法设计（以复化辛普森公式为例）
  （1）输入区间端点及扥分数(为偶数)，半步长
  （2）置
  （3）置
  （4）对，置
  （5）输出

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3 多重积分

考虑二重积分是曲面与平面区域围成的体积，对于矩形区域可写成累次积分同样可以使用复化梯形公式与复化辛普森公式求解

• 复化梯形公式
  将，区间分为，等份，步长，先对积分应用复化梯形公式，则有从而得到再对每个积分分别应用复化梯形公式即可
• 复化辛普森公式
  将，区间分为，等份，步长，先对积分应用复化辛普森公式，令则有从而得到再对每个积分分别应用复化辛普森公式即可