公式化思考面试与机试中的动态规划类题目

• 首先来一个题目：leetcode 32. 最长有效括号

问题：在一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。
示例：
输入：s = “)()())”
输出：4
解释：最长有效括号子串是 "()()"
范围：
0 <= s.length <= 3 * 10^4，其中s[i] 为 '(' 或 ')'。

动态规划思路

• 初见动态规划可能会觉得无从入手，这里我们将动态规划分为三点：状态，边界，转移。

状态

状态是指题目的条件能够组成的所有可能结果（比如括号的数量，每个括号是左括号还是右括号，括号的配对方式等）。
由于状态的描述方式许多，多数描述跟题目无关，这里给出一个固定句式：

在 <满足问题的条件> 下，<问题的最佳答案> 就是状态。

此题中，代入句式得到：在<长度为s.length条件>下，《最长有效括号子串的数量《就是状态。
观察句式，句式中的变量只有长度，我们修改长度的表述，可以得到 <长度为1下>，《最长有效括号子串的数量》；<长度为2下>，《最长有效括号子串的数量》··· 等等表述。显然这些表述组合起来就是一个一维数组，通常习惯将此数组命名为dp。
正式地：
● 设在<长度为i条件下>，《最长有效括号子串的数量》就是dp[i]。
● dp就是状态数组。

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边界

在固定句式中，代入确切的初始条件和终止条件，就是我们的边界，也是思考的起点和终点。

此题中的所有状态：<长度为1下>，《最长有效括号子串的数量》；<长度为2下>，《最长有效括号子串的数量》···

• 初始条件<长度为1下>的情况是容易计算的，显然<长度为1下>，《最长有效括号子串的数量》是0，那么得到dp[1]=0。
• 再有终止条件：在<长度为s.length条件>下，《最长有效括号子串的数量》就是dp[s.length]，也就是题目的答案。

dp[1] = 0;
answer = dp[s.length];

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转移

转移是由已知状态推导未知状态的过程。具体地讲：
Q：什么是已知未知？
A：在边界中，dp[1]=0就是已知状态，所求的答案dp[s.length]就是未知状态。

Q：转移是如何操作的？
A：根据已知推未知，逐步推导。

示例：字符串 s = “)()())”
第一个字符为 )， 同时已知状态dp[1]=0就表示<长度为1下>，《最长有效括号子串的数量》是0。
加入第二个字符，则目前为)(，通过已知状态dp[1]和已知第二个字符(来推导未知状态dp[2]。
以此类推 加入第三个字符，目前为)()，通过已知状态dp[2]和已知第三个字符)来推导未知状态dp[3]。
正式地：
通过已知状态dp[i-1]和已知第i个字符s[i]，来推导未知状态dp[i]。
简单表达：dp[i] = ( dp[i-1], s[i] )

Q：在计算 dp[i] 时，可以利用的信息有哪些？
A：只可利用dp[i-1], s[i-1], s[i] 等邻近 i 的数据。

详细说明：若在计算dp[i]时，使用了 dp[1], dp[2]···，那么本次计算就要访问i-1个元素。
根据上述，计算i=1时访问0个元素，计算i=2时访问1个元素···，计算i=n时访问n-1个元素。
则计算完 i=n 时已经访问了 0+1+2+···+n-1 = n^2 ，即时间复杂度为O(n^2)。

诸如dp[i] = ( dp[i-1], s[i] )的式子，称为状态转移方程。

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解题步骤

1. 根据状态的固定句式，假设一个合理的状态，并说明答案和状态的关系。

2. 分类讨论每种状态对应的含义，写出状态转移方程。

3. 若第2步无法写出方程，则检查状态是否完备，并继续步骤1。

• Q: 如何检查状态设置的正确性？
  a. 状态需要包含推导所需所有可能，不能有遗漏。
  b. 状态i 和 之前的状态i-1, i-2···不能有交集。

本题示例：

1. 使用上文设置的状态: dp[i]为在<长度为i条件下>，《最长有效括号子串的数量》，答案就是dp[n]。
2. 思考状态转移方程，计算未知状态dp[i]时，已知dp[i-1]的值，对dp[i-1]的值分类讨论。
   a. dp[i-1] 为0，则表示之前从未出现过有效的括号子串。
   b. dp[i-1] 不为0，则表示之前出现过有效的括号子串，不知道在[1, i-1]的哪一段出现的。
3. 这时我们发现使用dp[i-1]不大能够推算出dp[i]，因为dp[i-1]和dp[i]都包含了可能 在[1, i-1]的某一段出现了《最长有效括号子串的数量》，违背状态的正确性。

hint: 常在固定句式中使用限定词“以i为结尾”

1. 使用上文设置的状态: dp[i]为在<长度为i条件下>，《以i为结尾的最长有效括号子串的数量》。答案就是dp[1]到dp[n]中的最大值。
2. 思考状态转移方程，计算未知状态dp[i]时，已知dp[i-1]的值，对dp[i-1]的值分类讨论。
   a. dp[i-1] 为0，则表示i-1位置的符号不能跟前面的括号匹配。

   前i-1个字符可能是：*** * * (** ，若此时s[i] = ')'，则 dp[i] = 2。
   也可能是： ( ) )，则 dp[i] = 0。

b.  dp[i-1]  为k, k>0，则表示从i-1往前k个是恰好匹配的连续括号子串。
> 因为前面k个已经成功配对了，那么dp[i] 只能尝试跟 往前找第k+1个字符 配对，也就是 s[i-k]='('，且s[i]=')'时才能配对，dp[i] = dp[i-1] + 2。

可以得到一份代码：

class Solution {
public:
    int dp[30000 + 10], pos;
    int longestValidParentheses(string s) {
        // 因为c++下标从0开始, 这里填充一个字符在开头使得下标从1开始.
        s = "*" + s;
        // 边界
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= s.length(); i++)
        {
            dp[i] = 0;
            if (dp[i - 1] == 0)
            {
            // a.
                if (s[i - 1] == '(' && s[i] == ')')
                    dp[i] = 2;
            }
            else
            {
                // b.
                // pos就是往前找k+1个字符的位置
                // 比如 i=10，dp[i-1]=4,表示[6,7,8,9] 是匹配的子串，则 pos=5
                pos = i - dp[i - 1] - 1;
                if (s[pos] == '(' && s[i] == ')')
                    dp[i] = dp[i - 1] + 2;
            }
        }

        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= s.length(); i++)
            ans = max(ans, dp[i]);

        return ans;
    }
};

这里我们发现并不能解答此题，拿到错误数据为：")()())"，错误答案为2。
我们发现是5号位置计算错误，根据状态的定义：《以i为结尾的最长有效括号子串的数量》，dp[5]应该为4。

• 那么我们需要检查状态转移方程，发现无论是a. 还是b.，在i位置发生匹配时，就要注意是否前面也有一个完整的匹配，形如 * * * √ √ √ √ ( ) ，dp[i]的值应该为本次匹配的结果加上 上一个紧挨着的连续合法括号串长度（上一个紧挨着的位置是pos=i-dp[i]）。
• c. 第三条转移方程： 当i位置匹配成功（即dp[i]>0）时，也要加上 上一个紧挨着的连续合法括号串长度(即dp[pos])

// 代码如下
pos = i - dp[i];
if (dp[i])
    dp[i] += dp[pos]

// pos的值带进来简写
if (dp[i])
    dp[i] += dp[i - dp[i]]

最终代码

class Solution {
public:
    int dp[30000 + 10];
    int longestValidParentheses(string s) {
        // 因为c++下标从0开始, 这里填充一个字符在开头使得下标从1开始.
        s = "*" + s;
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= s.length(); i++)
        {
            dp[i] = 0;
            if (dp[i - 1] == 0)
            {
                if (s[i - 1] == '(' && s[i] == ')')
                    dp[i] = 2;
            }
            else
            {
                int pre_pos = i - dp[i - 1] - 1;
                if (s[pre_pos] == '(' && s[i] == ')')
                    dp[i] = dp[i - 1] + 2;
            }

            // c. 加这里
            if (dp[i])
            {
                dp[i] += dp[i - dp[i]];
            }
        }

        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= s.length(); i++)
            ans = max(ans, dp[i]);

        return ans;
    }
};

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