双交换消元：模合数多项式矩阵行列式、新伴随矩阵算法

王展鹏在 2020 年集训队论文中提出了一种计算模合数伴随矩阵，以及交换环上矩阵行列式的做法。今天我们讨论一个综合一点的情况：模合数多项式。

设给定一个 $n\times n$ 的 $m$ 次多项式构成的矩阵，求行列式的 $0\sim m$ 次项且 $m\ll n$。系数对 $M$ 取模。

我们首先做个 CRT，将模数 $M$ 分解为若干 $p^k$ 之乘积，将问题逐一解决。

当 $k>1$ 的时候，由于不是域，我们会遇到类似下面的无法直接消元的情形：

$$\left[\begin{array}{cc}p+x& \cdots \\ x& \cdots \end{array}\right]$$

因此我们尝试摒弃「将整个下三角消为 $0$」的想法。但是首先应当让尽量多的位置被消成 $0$。

对于矩阵 $\mathbf{M}$，若其中有一项的常数项不是 $p$ 的倍数，那么我们将其交换到左上角，这一项是可逆的，因此可以直接消掉本列的其余元素。那么我们直接消耗 $\Theta (n^2\mathsf{M}(m))$ 的时间，规约到剩下的一个 $(n-1)\times (n-1)$ 的矩阵 ${\mathbf{M}}^{\prime }$ 的行列式。

那么现在这个过程已经进行不下去了，我们得到的一个矩阵所有常数项均为 $p$ 的倍数。但是注意到对于 $0\le j\le i$，$i$ 个形如这样的多项式的乘积，其 $x^j$ 项系数是 $p^{i-j}$ 的倍数，因此不难归纳证明，如果矩阵的大小 $\ge k+m$，那么我们所求范围的行列式必然完全是 $0$，我们直接结束就行。否则我们还有一般情况下的算法！

由此，我们可以在 $\Theta (n^3\mathsf{M}(m)+\mathrm{poly}(k+m))$ 的时间完成计算。

同时，注意到求伴随矩阵就是考虑 $\mathbf{B}\to [x^1]\det (\mathbf{A}+\mathbf{B}x)$ 的这么一个关于 $\mathbf{B}$ 的所有输入的线性变换的转置，那么上述的算法少加修改就能得到一个关于 $\mathbf{B}$ 的线性算法，将其转置就得到了一个较为简单的伴随矩阵求法。