算子基本思想_【基本无害】什么是伴随算子？

简介

今天介绍“伴随算子”的概念，以及伴随算子如何将Fokker-Planck方程和Feynman-Kac方程联系起来。此外，我们还希望通过今天的推文，利用线性代数的知识，将伴随算子的概念介绍给各位。

Fokker-Planck方程是前向方程，而Feynman-Kac方程是倒向方程，它们都是偏微分方程，它们都关于某个随机过程，比如。如果满足，只要加上恰当的限制，一般而言都可以写出该随机过程的Fokker-Planck方程和Feynman-Kac方程形式。也就是说，我们从研究概率问题(随机过程问题)开始出发，最后结束于两个偏微分方程。这是一种研究随机过程的重要策略，目前我们仅将随机过程假设为扩散过程，而这种研究随机过程的策略还适用于研究是跳跃-扩散过程(比如：Merton，1976的跳跃-扩散模型)甚至是更为广义的跳跃-扩散过程，即Levy过程。

假如有，若令 且， 为简单起见，我们令。

需要注意，这种随机微分方程的写法被称为非时间齐次扩散过程(time-homogeneous diffusion process)。如果随机过程的系数与时间独立，则写为：，我们称其为时间齐次扩散过程。

Feynman-Kac方程写为：

PDE： ，

TC：

利用以上的写法，Fokker-Planck方程也可以写成算子的形式：在给定初始值时，

，则：

PDE: ，，

IC： 。

请一定特别注意算子和的定义，它们非常相似，但是不相等，这也注定它们有更深的数学联系。

请特别注意

，最后，且需注意 被称为是Dykin算子 的伴随算子。

线性算子和伴随算子

在介绍伴随算子(adjoin operator)之前，我们先介绍线性算子的概念。

所谓“线性算子”，其本意是：假设有两个任意函数(且它们都在自己的定义域上)，假设有一算子作用在时，即： 等于该算子分别作用在的和，即：。

此外还需要注意的是，如果和都满足一个齐次线性方程，即 和，则它们的任意线性组合也满足同一个齐次线性方程，这就是叠加原理，即：。

需要注意的是，一般而言：是线性算子，而一般不是线性算子。

Fokker-Planck方程的偏微分算子

为何Fokker-Planck方程的偏微分算子要定义为？

主要是因为它被称为Feynman-Kac方程的偏微分算子的伴随算子，根据相关的数学知识的定义和概念：如果我们用定义两个函数的内积，则我们可以把

定义为 的内积。

内积的定义

关于内积的严格定义是：假设是一个测度空间。则在上的内积被定义为：，其中。则是一个完备内积空间。而关于空间的定义是：。

伴随算子

在恰当定义内积的情况下，且在恰当的边界条件限制时，如果有两个偏微分算子和 满足

于是我们说是的伴随算子。

用线性代数思想理解伴随算子

伴随算子的概念其实并没有如此难以理解。我们可以通过线性代数的基本知识来理解伴随算子。在线性代数中，我们可以回忆一下伴随矩阵的概念。

假设有向量和，以及矩阵，如果用表示内积，则根据线性代数的知识可以知道

。

而伴随矩阵指的是矩阵有以下性质：  ，此外，我们可以发现，一般的矩阵都满足此形式。

证明：因为 ，  ，于是

以Fokker-Planck方程为例， ，它其实比较类似于 ，而表示某个矩阵的转置。

下面的问题是，在线性代数中，当讨论矩阵时，会讨论矩阵的特征向量和特征值，那么算子有“特征值”和“特征向量”相类似的概念吗？如果有，在给定一个函数时，如何找到它对应的“特征值”和“特征向量”？

首先，第一个问题的答案是算子有“特征值”和“特征向量”相类似的概念，但不再称为特征向量，而是称为特征函数(或者称为本征函数，即不再使用“特征”一词，而是使用“本征”)。

此外，请参见我们公众号关于Sturm-Liouville问题的讨论，我们知道常见的解偏微分方程的方法有分离变量法，于是： ，而 ，则为特征函数，而其对应的被称为特征值。在给定初值条件时。

我们仍以Fokker-Planck方程为例，如果为的特征函数，而是该特征函数对应的特征值，则有 。

线性代数和算子运算之间对应关系

线性代数	算子运算
向量	函数
矩阵	(线性)算子
转置	伴随算子
特征向量	特征函数
特征值	特征值