机器学习实战教程（四）：从特征分解到协方差矩阵：详细剖析和实现PCA算法

1. 协方差

概念

方差和标准差的原理和实例演示，请参考

方差

方差（Variance）是度量一组数据的分散程度。方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值：

标准差

标准差是数值分散的测量。
标准差的符号是 σ （希腊语字母 西格马，英语 sigma）
公式很简单：方差的平方根。

协方差

通俗理解

可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？
你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
通俗易懂的理解看知乎文章 或者 gitlab转载

协方差矩阵

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 这个解释摘自维基百科，看起来很是抽象，不好理解。其实简单来讲，协方差就是衡量两个变量相关性的变量。当协方差为正时，两个变量呈正相关关系（同增同减）；当协方差为负时，两个变量呈负相关关系（一增一减）。而协方差矩阵，只是将所有变量的协方差关系用矩阵的形式表现出来而已。通过矩阵这一工具，可以更方便地进行数学运算。
数学定义
回想概率统计里面关于方差的数学定义：

协方差的数学定义异曲同工：

这里的 x和y表示两个变量空间。用机器学习的话讲，就是样本有 x和 y两种特征，
而 X 就是包含所有样本的 x特征的集合，
Y就是包含所有样本的 y特征的集合。
用一个例子来解释会更加形象。

用一个矩阵表示为：

现在，我们用两个变量空间X ，Y 来表示这两个特征：

由于协方差反应的是两个变量之间的相关性，因此，协方差矩阵表示的是所有变量之间两两相关的关系，具体来讲，一个包含两个特征的矩阵，其协方差矩阵应该有 2*2 大小：

接下来，就来逐一计算 Cov(Z)的值。 首先，我们需要先计算出 X，Y 两个特征空间的平均值：
AVG(X)=3.25,AVG(Y)=3 ， 。 然后，根据协方差的数学定义，计算协方差矩阵的每个元素：

所以协方差矩阵

好了，虽然这只是一个二维特征的例子，但我们已经可以从中总结出协方差矩阵
的「计算套路」：

python协方差原理

# 协方差主要是多个特征
pa=np.array([
     [1,2] ,
     [3,6] ,
     [4,2] ,
     [5,2] 
   ])
'''
 x应该是个二维矩阵表示
 [
     [1] ,
     [3] ,
     [4] ,
     [5] 
   ]
'''
x=np.array([pa[:,0]]).reshape((4,1))
'''
 y应该是个二维矩阵表示
 [
     [2] ,
     [6] ,
     [2] ,
     [2] 
   ]
'''
y=np.array([pa[:,1]]).reshape((4,1))
print("分别获取X和Y:",x,y)
x_mean=np.mean(x)
y_mean=np.mean(y)
print("x和y特征的均值",x_mean,y_mean)
'''
这里只是求第一个特征x（第一列）和第二个特征(第二列)的方差cov(x,y)，
，实际还有cov(x,x),cov(y,x),cov(y,y)
x-x_mean转置T就变成了
 [
     [1-xmean,3-xmean,4-xmean,5-xmean] 
 ]
y-ymean是
 [
     [2-ymean] ,
     [6-ymean] ,
     [2-ymean] ,
     [2-ymean] 
 ]
(x-x_mean).T.dot(y-y_mean)就变成了矩阵乘法了

（1-xmean）*（2-ymean）+（3-xmean）*（6-ymean）+（4-xmean）*（2-ymean）+（5-xmean）*（2-ymean）
然后除以n-1就是协方差了cov(x,y)
'''
print("cov(x,y)=",np.sum((x-x_mean).T.dot(y-y_mean))/(len(pa)-1))

#数学表示横表示列，竖表示行，默认行横表示特征
'''
[[1 3 4 5]
 [2 6 2 2]]
'''
print(pa.T)
print("conv",np.cov(pa.T))
# 使用rowvar=False，表示列是变量是特征
print("conv",np.cov(pa,rowvar=False))

输出结果可查看：github

2. PCA

概念

主成分分析(Principal Component Analysis):

• 一个非监督的机器学习算法
• 主要用于数据的降维
• 通过降维，可以发现更便于人类理解的特征
• 其他应用：可视化，降噪

假设存在一根直线，将所有的点都映射在该条指直线上，这样的话点的整体分布和原来的点的分布就没有很大的差异（点和点的距离比映射到x轴或者映射到y轴都要大，区分度就更加明显），与此同时所有的点都在一个轴上（理解成一个维度），虽然这个轴是斜着的。用这种方式将二维降到了一维度

公式推导

那么如何找到这个让样本间距最大的轴？

如何定义样本间间距？ 使用方差(Variance)

方差越大代表样本之间越稀疏，方差越小代表样本之间越紧密。
移动坐标轴，使得样本在每一个维度均值都为0：

创建一个3x+4线性附近20个随机样本，样例和结果：https://github.com/lzeqian/machinelearn/blob/master/sklean_pca/demean.ipynb

import numpy as np;
import matplotlib.pyplot as plot
from commons.common import setXY
#生成一个 3x+4附近的点
np.random.seed(100);
# 获取randc个随机点
randc=20
x1=np.random.rand(randc);
x2=x1*3+4+np.random.rand(randc);
plot.plot(x1,x2,"o");

转换为矩阵表示

#使用矩阵数组表示,x1,x2  x1和x2是两个特征
'''
[   [x1,x2]
    [1,2],
    [3,4]
]
X=x1.reshape(-1,1); 等价于x1.reshape(len(x1),1)
[1,2]转换为
x1=[
  [1],
  [2]
]
x2=[
  [4],
  [5]
]
x1.hstack(x2)
[
  [1,4],
  [2,5]
]
'''
X=np.hstack((x1.reshape(len(x1),1),x2.reshape(len(x2),1)))
print(X)
[[0.54340494 6.06191901]
 [0.27836939 5.77513797]
 [0.42451759 6.09120215]
 [0.84477613 6.87044035]
 [0.00471886 4.18956702]
 [0.12156912 4.73753941]
 [0.67074908 6.01793576]
 [0.82585276 6.72998462]
 [0.13670659 5.20578228]
 [0.57509333 5.74053496]
 [0.89132195 7.27280924]
 [0.20920212 5.23141091]
 [0.18532822 4.66113234]
 [0.10837689 4.70707412]
 [0.21969749 4.69556853]
 [0.97862378 7.82628292]
 [0.81168315 7.4159703 ]
 [0.17194101 4.57576503]
 [0.81622475 7.33922019]
 [0.27407375 5.39912274]]

demean，均值归0处理

np.set_printoptions(suppress=True) #不使用科学计数法
setXY()
def demean(X):
    return X-np.mean(X,axis=0) #取对应列的均值
#均值归零的算法是x1-xmean，x2-x2mean
X_demean=demean(X)
plot.plot(X_demean[:,0],X_demean[:,1],"o");

demean之后的方差最大其实就是求映射后每个点到(0,0)的距离最大再求和，假设降维后轴的方向是w=(w1, w2)

，Xi是映射前的向量，Xi(project)是映射后的向量，这里注意w向量是单位向量 |w|=1

以上是推导公式
目标函数是：

通过公司可知

注意i是样本索引，下标1，2是特征数，x1是特征1，x2是特征2 xj是特征j，每个特征xj对应一个维度wj

目标函数即：

对目标函数求梯度：

转化为：

由于最终转换的结果是一个1行m列的矩阵，而我们想要得到一个n行1列的矩阵，所以还要进行一次转置

编程实现（第一主成分）

产生一个 3x+4附近的点

import numpy as np;
import matplotlib.pyplot as plot
from commons.common import setXY
#生成一个 3x+4附近的点
#np.random.seed(100);
# 获取randc个随机点
randc=100
# 0-1的数*多少倍，注意太小的样本点，abs(f(w=w, X=X) - f(w=last_w, X=X)) 的值增量过小可能导致循环次数后，还没有到

定义目标函数

# 这是目标函数 np.sum（（X*W）**2)/M
# 注意目标函数是传入X是已知的数据样本，w是个2个特征向量 ，f(w1,w2)是个三位空间

def f(X,w):
    return np.sum((X.dot(w))**2)/len(X)

获取w在各个特征的导数

# 获取各个维度的导数    
def df_w(X,w):
    return X.T.dot(X.dot(w))*2/len(X)

也可以用这个通用的方法求导数

'''
通用计算某个点的斜率的方法
为了验证我们的这个是正确的，使用这个df_debug这个函数，
和线性下降法一样，使两个点之间连成的直线不断的靠近应得的直线，
使其斜率相当，注意的是，这里的epsilon取值比较小，是因为在PCA的梯度上升法中，
w是一个方向向量，其模为1，所以w的每一个维度其实都很小，那么为了适应，相应的epsilon也要小一些
'''
def df_debug(w,X,epsilon=0.0001):
      res = np.empty(len(w))
      for i in range(len(w)):
          w_1 = w.copy()
          w_1[i] += epsilon
          w_2 = w.copy()
          w_2[i] -= epsilon
          res[i] = (f(w=w_1,X=X) - f(w=w_2,X=X)) / (2*epsilon)

将w向量转换为单位向量

# 将任意向量转换为单位向量 np.linalg.norm(w)是 x**2+x1**2开根号
# (3,4)/5=(3/5,4/5)就是单位向量，模是1
def direction(w):
    return w / np.linalg.norm(w)

梯度上升测试

wapp=np.array([])
def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
    w = direction(initial_w)
    i_iter = 1
    global wapp
    wapp=np.append(wapp,w).reshape((1,len(w)))
    while i_iter < n_iters:
        gradient = df(w=w, X=X)
        last_w = w
        # gradient是对每个维度求偏导得到的列表，如果偏导数为负则w的这个维度加上一个负值，降维后的方差趋于变大
        # 如果偏导数为正，则w的这个维度加上一个正值，降维后的方差趋于变大，因此w加上导数值，降维后的方差趋于变大
        # 在eta合适的情况下，随着循环进行，导数值逐渐趋近0，eta是常数，降维后的方差的变化量会越来越小
        w = w + eta * gradient
        w = direction(w)  # 注意1，每次求一个单位向量
        wapp=np.vstack((wapp,np.array([w])))
        # abs求绝对值
        if (abs(f(w=w, X=X) - f(w=last_w, X=X)) < epsilon):
            print("精度：",abs(f(w=w, X=X) - f(w=last_w, X=X)),epsilon)
            print("梯度",gradient)
            
            break
        i_iter += 1
    return w


initial_w = np.random.random(X.shape[1])  # 注意2：不能用0向量开始
eta = 0.0001
# print(gradient_ascent(df_debug, X=X_demean, initial_w=initial_w, eta=eta))
w=(gradient_ascent(df_w, X=X_demean, initial_w=initial_w, eta=eta, n_iters=100))
setXY()
plot.plot(X_demean[:,0],X_demean[:,1],"o");
print(w)
# 单位向量乘同一个，方向是相同的
plot.plot([0,w[0]*(blow)],[0,w[1]*blow])
#plot.plot(X_demean[:,0],w[1]/w[0]*X_demean[:,0])
#%%
fig = plot.figure()
#创建梯度上升的过程
ax = plot.axes(projection='3d')
wappy=[f(w=w_t, X=X) for w_t in wapp]
ax.plot3D(wapp[:,0],wapp[:,1],wappy, 'red')
print("w1值",wapp[:,0])
print("w2值",wapp[:,1])
print("方差：",wappy)

ax.set_title('3D line plot')
plot.show()

拟合的直线

梯度上升过程