食饵捕食者模matlab,食饵——捕食者数学模型研究.doc

食饵——捕食者数学模型研究.doc

食饵——捕食者数学模型

摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为

了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据

它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模

型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察

猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性

关键词：自滞作用 数值解matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性

问题重述

自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。

二，问题背景

一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题

三，问题分析

首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)一个理想的环境，它们是呈J形增长的。现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件matlab求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。

四、基本假设

1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响

2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡

3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构

4，假设捕食者离开食饵无法生存

5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝

五，符号说明

X(t)：食饵(食用鱼)在时刻t的数量

Y(t)：捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量

r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，(相对增长率)

r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，(相对增长率)

N1：食饵的最大容量

N2：捕食者的最大容量

1：单位数量乙(相对于N2)提供的供养甲的食物量为单位甲(相对于N1)消耗的供养甲食物量1倍

2：单位数量甲(相对于N1)提供的供养甲的食物量为单位乙(相对于N2)消耗的供养甲食物量2倍

d：捕食者离开时独立存在的死亡率

六，模型建立

食饵(甲)数量x(t)，捕食者(乙)数量y(t)

甲独立生存的增长率r =rx

乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比

(t)=(r-ay)x=rx-axy (1)

a~捕食者掠取食饵的能力

乙独立生存的死亡率d =-dy

甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比

(t)= -(d-bx)y=-dy+bxy (2)

b~食饵供养捕食者的能力

方程(1)，(2)无解析

6.1模型建立

我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型

1(t)=r1x1(1--1) (3)

2(t)=r2x2(-1+2-) (4)

6.2 模型求解

利用数学软件matlab分别求解(3)，(4)两个微分方程的数值解。记食饵和捕食者的初始数量为

X(0)=x0 y(0)=y0求数值解(t)，(t)及相轨线y(x)，设r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下：

r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;

xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];

function xdot=shier(t,x)

ts=0:0.1:15;

x0=[25,2];

[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,s],

plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

pause,

plot(x(:,1),x(:2)),grid,

可得数值解(t)，(t)及相轨线y(x)

数值解(t)，(t)的图形

相轨线y(x)的图形

根据图形和数值结果可以猜测，x(t)，y(t)是周期函数，相应的y(x)是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3和2.0，y的最大值最小值分别为28.4和2.0.并且用数值积分容易算出x(t)，y(t)在一个周期的平均值为=25，=10。

七、模型分析、评价及改进

7.