AcWing 1083. Windy数（数位DP）

一、问题

二、分析

这道题考察的是数位DP的知识，对于数位DP的分析方法作者在之前的文章中做过详细地介绍：AcWing 1081. 度的数量（数位DP）和AcWing 1082. 数字游戏（数位DP）。

如果对数位DP的做题方法不了解的话，可以去看一看作者之前写的这两篇文章。

对于这道题的分析方法也是一样的，我们同样是对区间上限值X的每一位进行分析。

而对于每一位而言，我们要将其分为两类。

假设上限值在该位的值是$x$，那么我们主要分为两类：一类是该位填写小于x的数，这样做的好处就是无论后面的位怎么填，这个数都是小于上限值的，我们无需考虑超过上限的问题。

整体的分类逻辑可以画成下面的图：

然后我们从高位开始分类讨论。

我们可以发现越往下分类，我们的数字的固定前缀就会越长。留给我们随机填的位越少。

但是我们会发现，所有分支的左侧的数不管怎么写都比上限小，所以我们不需要考虑大小，只需要考虑哪些数字符合题目条件。

那么如何去计算符合题目条件的数字个数呢？

我们拿出其中一个分类作为例子：
那么这个DP怎么写呢？

状态表示

$f[i][j]$表示当前位是$i$，算上当前位，该数字共有$j$位时，$windy$数的个数。

状态转移

根据题目内容的表述，$windy$数是值相邻两位的差的绝对值是大于等于2的。那么我们可以去枚举$i$位的左边一位$x$，这个$x$和$i$的差值必须是大于等于2的，那么状态转移方程可以写成：
$$f[i][j]=\sum f[x][j-1]$$
其中：$|x-i|\ge 2$

初末状态

如果一个数只有个位那么它也是$windy$数，所以我们让所有的$f[i][1]$初始化为1。

循环设计

三重循环即可，前两重循环是枚举$i$和$j$。第三重循环就是枚举刚刚提到的$x$

注意事项

这道题中提到了一个很特别的条件，不能包含前导零，什么意思呢？

我们首先要弄明白什么是前导零，000123中1前面的0就是前导零。

因此这道题中我们的最高位不能从0开始枚举，只能从1开始枚举。

这样做有什么影响呢？

首先，假设上限值x有6位。由于我们最高位不是0，这就说明我们最终枚举的答案都是6位的。但是小于6位的也在范围里，所以就出现了漏解的情况。

那就有人可能会想，那我第一位就从0开始枚举。

这样做的话依旧会导致漏解，你从0开始枚举，就说明你想要5位的答案。那么如果一个答案是5位的，我们从高位到低位开始考虑，它的最高位可以是1到9的任何数字。

但是如果你用第6位写0来枚举5位的答案，那么你的第5位是不能写1的。因为1和0的差的绝对值小于2。

也就是说$f[0][i]$不等于$f[x][i-1]$

因此，对于低位的情况我们不能通过增加前导零的方式去枚举。

怎么办呢？

我们可以通过刚刚分类讨论的方式算出所有6位的答案。

由于少于6位的数字一定是小于上限值的，所以我们让j只需要从1到5开始枚举，j表示长度，再让i表示高位写的数字（从1到9），给我们的答案加上所有的f[i][j]即可。

三、代码

#include
using namespace std;
const int N = 40;
int f[N][N];

void init()
{
	for(int i = 0; i <= 9; i ++ )f[1][i] = 1;

	for(int i = 2; i < N; i ++ )
	{
		for(int j = 0; j <= 9; j ++ )
		{
			for(int k = 0; k <= 9; k ++ )
			{
				int dis = abs(j - k);
				if(dis >= 2)
				{
					f[i][j] += f[i - 1][k];
				}
			}
		}
	}
}
int dp(int x)
{
	if(!x)return 0;
	vector<int>v;
	int last = -2;
	int res = 0;
	while(x)
	{
		v.push_back(x % 10);
		x /= 10;
	}
	for(int i = v.size() - 1; i >= 0; i -- )
	{
		int a = v[i];
		for(int j = (i == v.size() - 1); j < a; j ++ )
		{
			int dis = abs(last - j);
			if(dis >= 2)
				res += f[i + 1][j];
		}
		if(abs(last - a) >= 2)last = a;
		else break;
		if(!i)res++;
	}
	for(int i = 1; i < v.size(); i ++ )
		for(int j = 1; j <= 9; j++)
			res += f[i][j];
	return res;
}
int main()
{
	init();
	int a ,b;
	cin >> a >> b;
	cout << dp(b) - dp(a - 1) << endl;
	return 0;
}