数学知识——质数、约数

数学知识——质数、约数

• 质数
  • 试除法判定质数
  • 分解质因数
  • 筛质数
• 约数
  • 试除法求约数
  • 约数个数
  • 约数之和
  • 最大公约数

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质数

AcWing 866. 试除法判定质数

#include
using namespace std;

int n;
bool check(int x)
{
    if(x < 2)return false;
    for(int i = 2; i <= x / i; i++)
        if(x % i == 0)return false;
    return true;
}
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if(check(x))cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

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AcWing 867. 分解质因数

#include

using namespace std;

void broke(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n / i; i++)//大于根号n的质因数最多只有1个
    {
        if(n % i == 0)
        {
            int cnt = 0;
            while(n % i == 0)
            {
                cnt++;
                n /= i;
            }
            cout << i << ' ' << cnt << endl;
        }
    }
    if(n > 1)cout << n << ' ' << 1 << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        broke(x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

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AcWing 868. 筛质数

• 知识点：线性筛质数o(n)
• 思路：
  • 所有合数的状态（这里用st[]表示）只会被它的最小质因数更新一次
  • 若i % primes[j] != 0， 则primes[j]为i * primes[j]的最小质因数
  • 若i % primes[j] == 0，则primes[j[也为i * primes[j]的最小质因数，而此时i * primes[j+1]的最小质因数不是primes[j+1]，而是primes[j]，所以在i % primes[j] == 0的时候更新过程终止（即在更新i*primes[j]后跳出第二层循环）
  • 由于任意一个合数x可以表示为一个最小质因数y与另一个数z的乘积，而y < x && z < x，而st[]是从小到大来更新的，所以st[x]一定能被更新到。

#include

using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int n, primes[N], cnt;
bool st[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i])primes[cnt++] = i;
        for(int j = 0; i * primes[j] <= n; j++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0)break;
        }
    }
    cout << cnt;
    return 0;
}

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约数

AcWing 869. 试除法求约数

#include
#include
#include

using namespace std;

int n;

void broke(int x)
{
    vector<int>num;
    for(int i = 1; i <= x / i; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            num.push_back(i);
            if(x / i != i)
                num. push_back(x / i);
        }
    }
    sort(num.begin(), num.end());
    for(int i = 0; i < num.size(); i++)
        cout << num[i] << " ";
    cout << endl;
}
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        broke(x);
    }
    return 0;
}

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AcWing 870. 约数个数

• 核心思路：
  • 对于任意一个数x = p₁^a1 p₂^a2…p_n^an（p₁，p₂，…p_n均为质数），则x的约数个数为(1+a1) * (1+a2) *… * (1+an)。

#include
#include

using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
unordered_map<int, int>pa;

void broke(int x)
{
    for(int i = 2; i <= x / i; i++)
    {
        while(x % i == 0)
        {
            x /= i;
            pa[i]++;
        }
    }
    if(x > 1)pa[x]++;
}
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a;
        cin >> a;
        broke(a);
    }
    
    LL ans = 1;
    for(auto t : pa)ans = ans * (t.second + 1) % mod;
    cout << ans;
    return 0;
}

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AcWing 871. 约数之和

• 核心思路：
  • 对于任意一个数x = p₁^a1 p₂^a2…p_n^an（p₁，p₂，…p_n均为质数），则x的约数之和为(1+p₁+p₁²+…+p₁^a1) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^a2) * … * (1+p_n+p_n²+…+p_n^an)

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
unordered_map<int, int>primes;//<质因数，质因数指数>

void broke(int x)//统计质因数和其指数
{
    for(int i = 2; i <= x / i; i++)
    {
        while(x % i == 0)
        {
            x /= i;
            primes[i]++;
        }
    }
    if(x > 1)primes[x]++;
}
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a;
        cin >> a;
        broke(a);
    }
    LL res = 1;
    for(auto prime : primes)
    {
        LL t = 1;
        int p = prime.first, q = prime.second;
        while(q--)//求和
            t = (t * p + 1) % mod;
        res = res * t % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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AcWing 872. 最大公约数

//欧几里得算法（辗转相除法）
#include

using namespace std;

int n;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << gcd(a, b) << endl;
    }
    return 0;
}