高数复习: 多元函数微分学及其应用

多元函数的基本概念

多元的定义可以类似地由二元的定义写出，因此下面只写二元有关的定义

平面点集；$n$ 维空间

• 下面首先将 ${\mathbb{R}}^1$ 中两点间距离、区间、邻域等概念推广到 ${\mathbb{R}}^2$ 及 ${\mathbb{R}}^n$

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平面点集

• 坐标平面上具有某种性质 $P$ 的点的集合，称为平面点集
  

${\mathbb{R}}^2$ 中的邻域

• 点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta )$
  $$U\left(P_0,\delta \right)=\{P||P{P}_0|<\delta \}$$
• 点 $P_0$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U}(P_0,\delta )$
  $$\mathring{U}\left(P_0,\delta \right)=\{P|0<|P{P}_0|<\delta \}$$

点和点集的关系

• 内点：$U(P)\subset E$，其中 $E\subset {\mathbb{R}}^2$
• 外点：$U(P)\cap E=\varnothing$
• 边界点：邻域内既含有属于 $E$ 的点，有含有不属于 $E$ 的点 (边界点的全体称为 $E$ 的边界 $\partial E$) (边界点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$，取决于 $E$ 包不包含其边界)
• 聚点 (边界点 / 内点)：对于任意给定的 $\delta >0$, 点 $P$ 的去心邻域 $\mathring{U}(P,\delta )$ 内总有 $E$ 中的点
  

重要的平面点集

• 如果点集 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，那么称 $E$ 为开集
• 如果点集 $E$ 的边界 $\partial E\subset E$, 那么称 $E$ 为闭集
• 如果点集 $E$ 内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于 $E$, 那么称 $E$ 为连通集
• 连通的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域
• 对于平面点集 $E$, 如果存在某一正数 $r$ 使得 $E\subset U(O,r)$，其中 $O$ 为坐标原点，则称 $E$ 为有界集，反之为无界集

多元函数的极限

二元函数的极限 / 二重极限

• 必须注意．所谓二重极限存在，是指 $P(x,y)$ 以任何方式趋于 $P_0(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 都无限接近于 $A$. 如果当 $P(x,y)$ 以不同的方式趋于 $P_0(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在

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例

多元函数的连续性

偏导数

偏导数的定义及其计算法

在求对 $x$ 的偏导时，将 $x$ 以外的变量都看作常量即可

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偏导数的几何意义

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• 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，那么它在该点必定连续．但对多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续．这是因为各偏导数存在只能保证点 $P$ 沿着平行于坐标轴的方向趋于 $P_0$ 时，函数值 $f(P)$ 趋于 $f(P_0)$，但不能保证点 $P$ 按任何方式趋与 $P_0$ 时, 函数值 $f(P)$ 都趋于 $f(P_0)$

高阶偏导数

• 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：
  其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数

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• 二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关
  

全微分

全微分的定义

偏微分与偏增量

• 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
  上面两式的左端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏微分

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全增量

• 与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量 $\Delta x$、$\Delta y$ 的线性函数来近似地代替函数的全增量 $\Delta z$，从而引入全微分

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多元函数可微

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• 多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续；但是，由上述定义可知，如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么这函数在该点必定连续
  • 证：
    

$\rho \to 0$ 与 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 相当

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可微分的条件

• 注意：各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件 (当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 $\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$, 但它与 $\Delta z$ 之差并不一定是较 $\rho$ 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分)
  

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叠加原理

• 习惯上，我们将自变量的增量 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 分别记作 $dx$ 与 $dy$, 并分别称为自变量 $x$ 与 $y$ 的微分．这样，函数 $z=f(x,y)$ 的全微分就可写为
  
• 叠加原理也适用于三元以上的函数. 例如，如果三元函数 $u=f(x,y,z)$ 可微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即
  

全微分在近似计算中的应用

• 如果函数可微，则可以利用全微分对全增量的近似来对二元函数作近似计算和误差分析：
  

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多元复合函数的求导法则

一元函数与多元函数复合的情形

多元函数与多元函数复合的情形

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全微分形式不变性

隐函数的求导公式

一个方程的情形

• 这里不证上述定理，仅就公式 (5-2) 作如下推导：将方程 $F(x,y)=0$ 所确定的函数 $y=f(x)$ 代入 $F(x,y)=0$, 得恒等式
  求这个函数的全导数，可得
  由此可得公式 (5-2)
• 如果 $F(x,y)$ 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式 (5-2) 的两端看做 $x$ 的复合函数而再一次求导，即得
  

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• 这个定理我们也不证明。与定理 1 类似，由隐函数存在的条件可以推导出公式 (5-4)

方程组的情形

• 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广．我们不仅增加方程中变量的个数，而且增加方程的个数．例如，考虑方程组
  这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组就有可能确定两个二元函数

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方向导数与梯度

方向导数

• 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，下面我们来讨论函数沿任一指定方向的变化率

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方向导数

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方向导数与偏导数的关系

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方向导数与可微的关系

梯度

梯度

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方向导数与梯度

• 可以看出：梯度 $\nabla f$ 是这样一个向量，它的方向是函数 $f(x,y)$ 在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值

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函数的梯度就是函数等值线的法向量

单位法向量的推导如下：设 $f(x,y)=c$ 确定了隐函数 $y=g(x)$，因此 $f(x,g(x))=c$，等式两端对 $x$ 求导可得 $f_x+f_y{g}^{\prime }=0$，因此 $g^{\prime }=-\frac{f_x}{f_y}$；而法线与切线的斜率之积为 $-1$，因此法线斜率为 $\frac{f_y}{f_x}$，故法线向量为 $(1,\frac{f_y}{f_x})$ 或 $(f_x,f_y)$

• 上面讨论的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形

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参考

• 《高等数学》(同济版)
• 汤家凤考研资料