树——笛卡尔树

树简介

笛卡尔树是平衡二叉树的一种，他和我们之前学习的AVL树一样通过旋转来调整，使平衡树达到平衡态。不过，不同的是：笛卡尔树除了用于决定节点向左/右分布的key外，还有个value，用来决定节点的层级先后。

笛卡尔树的分布存在以下特点：

• key:分布遵循BST的规律，即左子树key<根key<右子树key
• value:分布遵循堆的规律，即父value < 子value/子value < 父value
  • 父value < 子value: 最小堆
  • 子value < 父value：最大堆

树操作算法概述

笛卡尔树我们只介绍建树的过程。忽略树的修改操作。

建树

笛卡尔树的key遵循二叉搜索树的特点。value遵循堆的特点。所以我们先把数据按照key从小到大进行排序。【以此为例，如果你硬要从大到小也是一样的道理】

接下来我们只需要从第一个节点开始串下去就行了，后面的肯定比前面的大，所以在前面节点的右子树或者父节点，而是右子树还是父节点，通过value判定。

一个二叉树大概长下面这样【网上盗的图，不是搜索树，大概看个结构就行】：

1.png

既然不是当右儿子就是当爸爸，我们在构建过程中直接把根节点到最右子树存下来，方便为新来的节点找到进入的位置。

存储的东西如下：

2.png

每新来一个节点，我们拿着value一个一个比较，因为父value要比子value大。而且有一个特点，新插入一个点后，原来他右下位置的点就变成他的左子树了，右链砍掉了一部分。所以有两种思路：

1. 每次从根往右遍历
   • 和当前的节点比较，当前节点比插入值大就继续向后遍历，直到遇到一个比他小的，然后插到他的前面，他后面的节点做插入点的左子树
2. 每次从右下角遍历
   • 和当前的节点比较，当前节点比插入值小就过，继续向前遍历，找到对应位置，插进去

两种方法其实都是一个思路：遍历，直到找到合适位置，然后插入。

在网上找到的很多源码都提到了O(n)时间复杂度的笛卡尔树构造方法，说是借助栈，他们一般用的是我介绍的第二种思路：和栈顶比较，不行就扔掉，插进去后入站，然后新的右链就又在栈中了。

如果你思路清晰了，完全可以不借助栈，直接从根节点右子树右子树的遍历就行，都不用维护栈了。

源码

直接放项目的地址了，我是用的java写的增删操作，没有用C。还有就是没有专门为这个建git，源码在com.gateway.learn.tree下面。github地址：https://github.com/LiPengcheng1995/gateway-parent.git

树应用场景

官方话：

笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top k查询（range top k queries）等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。

（用数组下标当key）

自己的话：

笛卡尔树我认为其实最重要的并不是key，而是value：

key存在的意义是为了让数列中相邻的节点继续相邻，比较形象一点的形容就是只看key的话可以把key当作数列的下标，然后从中间把这个数列拎起来，就形成了树结构。

value存在的意义你可以看作数组中存的值，你给整个数列做了一个排序后的存储，只不过你把排序结果放在了树的上下结构中，节点下标没变。

问题一

这个样一个问题：求[a,b]范围中的最大值，你只需要找到a,b节点的LCA(Lowest Common Ancestor)，即最近公共祖先。

思路分析

1. 构建笛卡尔树
2. 依靠二叉排序树的特点快速定位LCA
3. 返回查到的LCA的value值

本文算法时间复杂度分析

1. 构建笛卡尔树 O(n)。（因为以下标为key，不需要重新排序了，用栈来辅助理解就是每个元素只会有一次进栈）
2. 依靠二叉排序树特点快速定位LCA O(log2(n))【平衡二叉树树深，虽然笛卡尔树的平衡不一定有VAL树那么平，但是大概还是平的】
   • this.key < a-->右边走
   • this.key > b --->左边走
   • 遇到的第一个a，this.value就是结果
3. return this.value

所以时间复杂度为O(n)。当然，如果多次查询只需要一次建树，这就很爽了，时间复杂度为O(log2(n))。

传统算法时间复杂度分析

顺序遍历一遍，记一下最大就行，时间复杂度为O(n)。

比较

本文算法优点：

1. 多次查询只需一次建树
2. 查询效率稳定，（已经构建笛卡尔树后，区间范围越大查询效果往往越快）

本文算法缺点：

1. 存储树结构有一一定开销
2. 不稳定，存在极度变态数列情况下整棵树被拉成一个链的可能

问题二

这样一个问题：已知一个无序数组，我给你其中一个下标，你要告诉我这个下标对应的值是多大范围内的最大/小值

思路分析

1. 构建笛卡尔树，如果求最大值，就按照最大堆构建【后面都按照最大来讲，最小也是同理】
2. 笛卡尔树看下标是树，看值是堆，找到对应的点，它下面的值都比它小，找到他的子树中的最左边点、最右边点即可

本文算法时间复杂度

1. 构建树，需要
2. 找节点对应子树的最大最小，即是两个范围点【找最左/最右子树即可】，复杂度为树深度，都是

综上，复杂度为

问题三

这个样一个问题：求[a,b]范围中的第n大的值。

思路分析

1. 构建笛卡尔树
2. 依靠二叉排序树的特点快速定位LCA
3. 看LCA下面一层够不够数
   • 够就找到第n-1大的
   • 不够就从再下一层找，设本层有m个点
     • 这一层够就找第n-m-1大的
     • 不够再去下一层。。。。。。

时间复杂度分析

1. 构建笛卡尔树 O(n)
2. 找LCA O(log2(n))
3. 找第n大的，由于树每靠上一层，本曾的节点数以指数倍减少，所以我们可以近似看成常数（可以。。。吧，总之需要比较的很少了）、

所以时间复杂度为O(n)。当然，如果多次查询只需要一次建树，这就很爽了，时间复杂度为O(log2(n))。

传统算法时间复杂度分析

得对这一段区间进行排序，时间复杂度为O(nlog2(n))

比较

如果区间随便给，这么查的话，还是本文的算法好。缺点和上一个问题一样就不提了。

还有一个明显的缺点，就是如果对同一个区间你经常查top k 。直接用传统方法排个序反而比较快。看自己需要什么了。

问题四

给出n个非负的整数，表示直方图中每个条的高度，且每个条的宽度均为1，找出这些条覆盖的最大面积的矩形。

3.png

思路分析

1. 构建笛卡尔树，（最小堆）
2. 后序遍历，将每个节点的所有子节点数目存在这个节点里，并求出子节点数目和此节点value的乘积。找到乘积最大的那个结果

帮助理解：

• 子节点数目 = 这个节点的value是多少个节点中最小的 = 涂色长方形的底边宽是多少
• 此节点value = 这n个节点的高度最小值 = 涂色长方形的高

注意：

• 因为是按照下标为key进行排的，原来相邻的长条现在还是相邻，所以才能这么等效

时间复杂度分析

1. 构建笛卡尔树 O(n)

2. 后续遍历、计算、存储，因为只遍历一遍，所以时间复杂度是 O(n)

思路分析（基础）

上面的虽然说着通顺，但是正常人的思路并不是这样的。你可以这样想，底和高都变化，我们需要先找两者的关联，先构建出一个合适的计算公式：

从底入手

我们需要遍历底边的所有匹配段情况，并算出区域内的最低点【数组一端区间内的最小值】，这样需要构建笛卡尔树，因为匹配的不确定性，我们需要枚举底边的(1+2+...+n)种情况，复杂度是。当然，如果你硬要把每次确定最小值的操作算到求高的操作中去的话，就是 。

从高入手

前面一个思路，我们解决的最大的问题是把范围确定后的定高问题解决了，但是确定底边取值范围开销太大了，达到了级别。

遇到了这么乱的思路，一般有两个可能：

1. 问题就是挺乱的。就像我们某些不合理的需求一样，屎一样的需求，再怎么捋代码也是乱七八糟
2. 我们抽象的不对

我们抽象出了底边x和高y,然后求xy的乘积最大值。我们求x时即使使用普通的排序方法，不用笛卡尔树也还有，但是找底边时我们直接就冲着去了，这就给人不协调的感觉了。

所以我们进行更近一步的抽象，设从x到y，取这范围内的长方形，设高的最小值为z，这样x,y,z的判断就都是了，当然，直接一下，复杂度直接就是了。

我们需要找到三个变量之间的关系。

如果我们确定一个x,后面y每个取值对应的高度都有可能变化，变化根据数组来变，没有规律，而没有规律就意味着遍历，意味着低效。

如果确定y，是一样的道理。

如果我们确定z，那就无所谓了，x和y往开的撑就行了。撑的越开，面积越大。

所以我们从z入手，算出每个z的值都能对应最大多大的(y-x)，也就是z值都是多大区间内的最小值。此处回到问题二。只需要遍历即可，所以时间复杂度是：

1. 构建笛卡尔树
2. 一一求出每个高度对应的底边最大值【对应的最大最小的范围】(n个，每个，也就是
3. n个方案，在一一计算时顺手存下最小的值以及计算方案即可，无需多余的时间复杂度

所以时间复杂度降低到了。

文献参考

1. https://www.cnblogs.com/pushing-my-way/archive/2012/08/24/2653709.html
2. https://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39033269
3. https://baike.baidu.com/item/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%A0%91
4. https://agatelee.cn/2016/07/%E6%A0%91%E7%B1%BB%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%A0%91/
5. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%A0%91