最长递增子序列 - 剑指offer中等

最长递增子序列
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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：
$$\begin{gathered} 1<=nums.length<=2500 \\ -10^4<=nums[i]<=10^4 \end{gathered}$$

进阶：

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解题思路

思路1

• 动态规划，dp[i]代表以索引i元素为结尾的最长上升子序列
• 动态规划转移方程dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)且nums[j]
• 时间复杂度$O(n^2)$，空间复杂度$O(n)$

思路2

• 时间复杂度$O(nlogn)$，空间复杂度$O(n)$
• 二分+贪心
• dp[i]代表长度为i的子序列末尾最小元素
• dp数组是一个单调递增的数组，我们通过二分不断更新长度为i的子序列末尾最小元素即可

解题代码

代码1

class Solution {
public:
    int dp[2501];
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int ans=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

代码2

class Solution {
public:
    int dp[2501];
    int len=0;
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            if(len==0){
                dp[len++]=nums[i];
            }
            else{
                int pos = lower_bound(dp,dp+len,nums[i])-dp;
                dp[pos]=nums[i];
                len=max(len,pos+1);
            }
        }
        return len;
    }
};