机器学习系列4：期望到底是个啥？

一 说明

概率学、或统计学有许多概念无法直观想象，而我们这些搞AI的，必须将这些概念学成一种直觉，啥叫直觉，就是无需过大脑，直接想象成结论。这里引出一个概念---期望，本文对其专门讨论。

二、举个常识例子

这里不先给出定义，拿一个常识进行讨论。

【1】假如有一个骰子，有六面。如果丢出“1”来，给你一块钱，那么丢100次能获取多少钱？

答案是100/6块钱，这个答案你能接受吗？

如果接受上述事实，那么写成公式：

其中P是获利，p是抛出“1”的概率，N是抛出次数。 以上公式对与否？想一想。它合理吗，全面吗？。

对以上公式的改进：

这才是完整的表达，其意思是：

抛N=100次骰子，带”1“的次数为pN，不带”1“的次数为（1-p）N，再乘上它们的收益u=1，和v=0后，这才是抛100次骰子的收益。

再次修改，更正确的公式是：

【2】再做一个思想实验，你在街上搭个帐篷，让客户购票进入帐篷参加游戏，游戏内容是：抛100次骰子，抛出”1“，给一块，抛出非”1“，给0.1圆，问票价设定为多少才能不亏本？

由公式（3）有：

        也就是，门票定价为25块，你才能保证不亏本。而这个25不是你的期望，也不是任何人的期望，而是冥冥之中上帝的期望。

        以上推理中，100只是一个推理道具；这里把100拿掉：

期望就是收益函数 的概率平均。画出图来

注意：这里的函数f是以集合为自变量的，也就是：f( drop==1 ) =1; drop==1表示丢出“1"这个事件，是个集合；同样，f( drop！=1 ) =0.1 也是一个事件集合，即丢出2到6这5个事件集合。

千万万千记住，这里f的自变量不是1-6这些数字，若这样理解就成了一锅粥；试问将1-6换成a-f的字母，问题没变，但是函数f就无法解释了。

三、给出期望的更正规的定义

1）对于离散函数f（收益函数），和一个几何概率空间，如图：

 那么：总收益就是期望；公式为：

2)当f是连续函数，概率也是连续的，如图：

其中p是连续概率的密度函数，F是收益函数，那么总收益（期望）是：

至此，希望大家对期望有一个感觉上的认知。然而教材上的书似乎对期望描述与本文不一致，请看下文，我们继续探讨。

机器学习5：关于期望的深入讨论_