异或的一些性质

http://artori.us/exclusive-or/

不介绍什么是异或了,有人叫半加、数学系的叫按位模2加

下文用得到的一些简单的性质

  • x^0 = x 且 x^x = 0

  • 交换律:x^y = y^x

  • 结合律:(x^y)^z = x^(y^z)

  • 自反性:x^y^y = x

下面是几个小题目,可以用异或解决,挺有技巧性

交换两个数ab

   

有意思的是搜索其他异或例子的时候,发现了这篇文章,文章里实现了一个异或交换的算法,和本文主题无关,不过很有意思,函数更多的时候应该只操作值而不是变量。

UPDATE_2013-05-06: 这个,看到云风写了一个利用这个特性做的双向链表,挺好玩,忍不住写过来。

A集合里拿掉数x得到B集合,求x

XOR(X)表示将X集合内所有的数做异或

XOR(B)^XOR(A) = XOR(B)^XOR(B)^x = 0^x = x

   

via: http://www.javaeye.com/topic/420487

A集合里拿掉数x、y得到B集合,求x和y

首先按上一个的办法可以推导出xor(A)^xor(B) = xor(B)^xor(B)^x^y = 0^x^y = x^y

x^y的二进制结果,第n位为1,说明x和y的第n位不相同

根据第n位是否为0把A里所有的数分成A1和A0两个数组(A1里的数的二进制第n位都是1,A0都是0)

A1和A0应该各包含了a或者b(这样第n位才能异或出1)

同理可以把B分成B1和B0两个数组

可以得到第一个数 x = A1^B1

第二个数可以y = A0^B0,当然也可以用x^y^x求得

另外如果x^y为0,即x == y,令SUM(X)为X集合内所有数求和

(SUM(A) - SUM(B)) / 2 = x

via: http://blog.chinaunix.net/uid-12453618-id-2935334.html

集合A里只有数x出现1次,其余数全都重复出现2次,求x

xor(A) = x^y^y^…^z^z = x^(y^y^…^z^z) = x^0 = x

   

集合A里只有数x出现1次,其余数全都重复出现3次,求x

xor的本质相当于“按位模2加”(adding modulo 2),令p1,p2…pn为布尔值,true为1、false为0,(+)表示异或操作。

p1 (+) p2 (+) ... (+) pn == ( p1 + p2 + ... + pn ) % 2

所以只需要实现按位模3加

( p1 + p2 + ... + pn ) % 3

将集合中所有数二进制表示的同一位的0或1相加,最终的和对3去摸,得到的数即是x

如 A = {5, 7, 7, 7},二进制表示两个数

   

但愿这坨东西能让人看懂

via: http://www.cs.umd.edu/class/sum2003/cmsc311/Notes/BitOp/xor.html

没有^操作时候实现异或,只用&与 |或 ~

这里的转换有很多,比如下面这个

x ^ y == (~x & y) | (x & ~y)

具体查看维基百科 《Equivalencies, elimination, and introduction》部分,各种公式

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