数据结构与算法 | 【斐波那契数列与递归】

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）。
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
黄金比例和斐波那契数列的数学意义密切相关，在我们的生活中小到细胞分裂、花瓣的排列纹路，大到人口密度和土地面积测绘，甚至是宇宙星系都有着斐波那契数列的身影。

有关斐波那契数列的数学定理和相关公式请参考斐波那契数列——百度词条。其中斐波那契数列的排列方式很有趣，前两项的和等于第三项的和，我们很容易就可以依据这个特点写出它的递推公式：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 。并且按照递推公式我们还可以推导出相应的通项公式：

$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]\text{\hspace{1em}(通项公式)}$$

下面让我们通过几个示例来了解斐波那契数列的魅力把。

示例1：无穷数列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,…, 称为 Fibonacci 数列，计算第n位数列。

同样的，这次先用循环和递归做一遍，然后在想办法进行优化。

#include 
using namespace std;

/*
题目：无穷数列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,..., 称为 Fibonacci 数列，计算第n位数列。
*/

// 循环实现
int Fibonacci(int n)
{
	/*
	1     1     2    5
	a=1 b=1 
			 c=a+b=2
	    a=b    b=c
	分析：
	c 保存两数之和，a、b向后移动
	*/
	int a = 1, b = 1, c = 1;
	for (int i = 3; i <= n; ++i)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}
	return c;
}

// 递归实现
int Fib(int n)
{
	if (n <= 2)	return 1;
	else return Fib(n - 1) + Fib(n-2);
}

int main()
{
	for (int i = 1; i < 10; ++i)
	{
		cout << Fibonacci(i) << " ";
		cout << Fib(i) << endl;
	}
	return 0;
}

分析递归效率：
对于循环来讲，它使用递推公式的方式求解，基本上没有需要优化的地方，除非我们选择使用通项公式求解，而对于当前的递归来说却还有着一些优化的空间。
递归过程分析：如：欲求的第五位斐波那契数，其递归调用方式如下

1递归

1递归

2递归

2递归

2递归

2递归

3递归

3递归

1

2

3

4

5

.3

2.

.2

.1

如图所示：

• 在第一次递归时，把求5的问题转换为求4的问题和求3的问题
• 在第二次递归时，把求4的问题转换为求3的问题和求2的问题
• 在第二次递归时，把求3的问题转换为求2的问题和求1的问题
• 在第三次递归时，把求3的问题转换为求2的问题和求1的问题

我们发现仅仅是计算第五个斐波那契数就要重复计算两次求3问题，三次求2问题，两次求1问题，这些重复的计算显然是没有意义的。从我们人的角度来分析问题，我们只需要计算一次“1”、一次“2”、一次“3”、一次“4”，就可以得到“5”的值了。并且我们也确实这样做了。正如我们所见到的，我们使用循环实现的求斐波那契数就是按照这种逻辑设计的。

前面提到过，通常情况下循环问题可以转换为递归问题，那么我们是否可以把循环式的代码稍加修改变成递归式呢？
循环式分析：
在循环中使用了三个变量，a、b 用于保存 $a_{n-1}$、$a_{n-2}$ 的值，使用 c 保存相加后的结果，a、b再向后移动一位。整体的过程如下表所示：

1	1	2	3	5	8	13	21	34
a	b	c
	a	b	c
		a	b	c
			a	b	c
				a	b	c
					a	b	c
						a	b	c

递归算法设计：
对于一个 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 的数列，递归的求法是将大问题转化为小问题后在求解，如：求34问题->求21问题->求13问题->求5问题->求3问题->求2问题。

分析：把这个数列类比成一个数组的话，递归就像是倒着数组求值，循环是正向对数组求值。并且在整个过程中都是遍历完整个数组的，递归次数与循环次数相同。

算法：在进行每一步递归时同时进行计算，从斐波那契数的起始数 1，1 开始计算，待到递归到结束时已经求得斐波那契数值。并且这个算法不存在重复求值问题。

递归调用式：$fib(n,a,b)=>fib(n-1,b,a+b)$ ,调用过程中，n为递归次数，a 的位置保存b的值，b 的位置保存 c 的值（a+b）
递归过程分析：求第9个斐波那契数
fib(9,1,1) ⇒ fib(8,1,2) ⇒ fib(7,2,3) ⇒ fib(6,3,5) ⇒ fib(5,5,8) ⇒ fib(4,8,13) ⇒ fib(3,13,21) ⇒ fib(2,21,34)
$a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,a_7=13,a_8=21,a_9=34$

因此，对于递归式$fib(n,a,b)$，的递归终止条件也确定了。在 $n=2$ 时返回 b ，或者在 $n=1$ 返回 a 都可以，下面是C++的代码实现：

#include 
using namespace std;

/*
题目：无穷数列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,..., 称为 Fibonacci 数列，计算第n位数列。
*/


int Fib_Reverse(int n, int a, int b)
{
	if (n <= 2) return b;
	else return Fib_Reverse(n - 1, b, a + b);
}

int NiceFib(int n)
{
	int a = 1, b = 1;
	return Fib_Reverse(n, a, b);
}

int main()
{
	for (int i = 1; i < 10; ++i)
	{
		cout << NiceFib(i) << " ";
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

除了直接求斐波那契数列的问题外，还有很多其衍生问题。如：求杨辉三角问题、爬楼梯问题、兔子繁殖问题、青蛙跳台阶问题等等。另外，卢卡斯数列 1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。值得一提的是在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。感兴趣的同学可以自行在网上查找相关资料。

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