[AcWing] 893. 集合-Nim游戏（C++实现）博弈论SG函数模板题

1. 题目

2. 读题（需要重点注意的东西）

思路：
首先要知道几个定义

公平组合游戏（ICG）

公平组合游戏（ICG）
（1）由两名玩家交替行动
（2）在游戏进行的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关
（3）轮流走，当一个玩家不能走时游戏结束
（4）游戏不能区分玩家的身份，例如黑白棋就是不行的
特征
给定初始局势，指定先手玩家，如果双方都采取最优策略，那么获胜者已经确定了，也就是说ICG问题存在必胜策略

必胜状态和必败状态

必胜状态和必败状态
必胜状态：先手进行某一个操作，留给后手是一个必败状态时，对于先手来说是一个必胜状态。即先手可以走到某一个必败状态。
必败状态：先手无论如何操作，留给后手都是一个必胜状态时，对于先手来说是一个必败状态。即先手走不到任何一个必败状态。
结论
假设n堆石子，石子数目分别是a1,a2,…,an，如果a1⊕a2⊕…⊕an≠0，先手必胜；否则先手必
败。

SG函数

SG函数
给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有公平组合游戏的抽象模型。

mex运算

mex运算
表示最小的不属于这个集合的非负整数。
对于一个给定的有向无环图，定义图的每个顶点的SG函数如下：SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
首先将终点全部置0，再逐一找出前驱节点的SG值

有向图游戏的和

有向图游戏的和
设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。则SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

SG值的意义

SG值的意义
当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏求它的SG值，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略。
结论：
先手必胜：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn) ≠ 0
先手必败：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2)⊕ … ⊕ SG(Gn) = 0

本题思路：
本题的主要思路就是代结论，求出每个节点的SG值，代入上述结论，
如果SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn) ≠ 0 ，先手必胜；
如果SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn) = 0 ，先手必败。

---

读题
集合S中有k个数，表示每次只能取这k个数中的某一个数的石头。
如 k = 2,S = {2,5} ，表示S中有两个数，取石头时每次要么取2，要么取5。

n堆石子，如 n = 3,每堆分别有 2 4 7个石子。将每堆石子的取法看成一张有向图，此处取7，则取法的有向图如下：

所以 SG(G7) = 0 （初始状态的SG值），同理求出第一堆和第二堆的SG值，SG(G2) ，SG(G4)
然后把每堆石子的SG值异或起来，
则最终结果SG = SG(G2) ⊕ SG(G4) ⊕ SG(G7)

3. 解法

---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

int n, m;
int s[N], f[M];

// 求出每堆石子的SG值
int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x]; // 记忆化搜索：保证每种状态只会被算一次

    unordered_set<int> S; // 用哈希表存它所有会到的局面
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int sum = s[i];
        if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum)); // 将新的状态加进来
    }
    
    // 找出集合当中不存在的最小值并返回
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}


int main()
{
    cin >> m;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> s[i];
    cin >> n;

    memset(f, -1, sizeof f);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        // 输入每堆石子的个数
        int x;
        cin >> x;
        // 求出每堆石子的SG值将其异或
        res ^= sg(x);
    }
    // 得到结果
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

---

可能存在的问题
求每堆石子的SG值的代码如何分析？

// 求出每堆石子的SG值
int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x]; // 记忆化搜索：保证每种状态只会被算一次

    unordered_set<int> S; // 用哈希表存它所有会到的局面
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int sum = s[i];
        if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum)); // 将新的状态加进来
    }
    
    // 找出集合当中不存在的最小值并返回
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}

4. 可能有帮助的前置习题

5. 所用到的数据结构与算法思想

• 博弈论
• SG函数
• 记忆化搜索
• 递归

6. 总结

博弈论SG函数模板题，理解思想并背下代码。