PageRank算法与特征向量和特征值(eigenvector和eigenvalue)

1. PageRank算法概述

         PageRank,即网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名。

        是Google创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1997年构建早期的搜索系统原型时提出的链接分析算法，自从Google在商业上获得空前的成功后，该算法也成为其他搜索引擎和学术界十分关注的计算模型。目前很多重要的链接分析算法都是在PageRank算法基础上衍生出来的。PageRank是Google用于用来标识网页的等级/重要性的一种方法，是Google用来衡量一个网站的好坏的唯一标准。在揉合了诸如Title标识和Keywords标识等所有其它因素之后，Google通过PageRank来调整结果，使那些更具“等级/重要性”的网页在搜索结果中另网站排名获得提升，从而提高搜索结果的相关性和质量。其级别从0到10级，10级为满分。PR值越高说明该网页越受欢迎（越重要）。例如：一个PR值为1的网站表明这个网站不太具有流行度，而PR值为7到10则表明这个网站非常受欢迎（或者说极其重要）。一般PR值达到4，就算是一个不错的网站了。Google把自己的网站的PR值定到10，这说明Google这个网站是非常受欢迎的，也可以说这个网站非常重要。

 

2. 从入链数量到 PageRank

        在PageRank提出之前，已经有研究者提出利用网页的入链数量来进行链接分析计算，这种入链方法假设一个网页的入链越多，则该网页越重要。早期的很多搜索引擎也采纳了入链数量作为链接分析方法，对于搜索引擎效果提升也有较明显的效果。 PageRank除了考虑到入链数量的影响，还参考了网页质量因素，两者相结合获得了更好的网页重要性评价标准。
对于某个互联网网页A来说，该网页PageRank的计算基于以下两个基本假设：
     数量假设：在Web图模型中，如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要。
     质量假设：指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。
       利用以上两个假设，PageRank算法刚开始赋予每个网页相同的重要性得分，通过迭代递归计算来更新每个页面节点的PageRank得分，直到得分稳定为止。 PageRank计算得出的结果是网页的重要性评价，这和用户输入的查询是没有任何关系的，即算法是主题无关的。假设有一个搜索引擎，其相似度计算函数不考虑内容相似因素，完全采用PageRank来进行排序，那么这个搜索引擎的表现是什么样子的呢？这个搜索引擎对于任意不同的查询请求，返回的结果都是相同的，即返回PageRank值最高的页面。

 

3. PageRank算法原理

      PageRank的计算充分利用了两个假设：数量假设和质量假设。步骤如下：
      1）在初始阶段：网页通过链接关系构建起Web图，每个页面设置相同的PageRank值，通过若干轮的计算，会得到每个页面所获得的最终PageRank值。随着每一轮的计算进行，网页当前的PageRank值会不断得到更新。

      2）在一轮中更新页面PageRank得分的计算方法：在一轮更新页面PageRank得分的计算中，每个页面将其当前的PageRank值平均分配到本页面包含的出链上，这样每个链接即获得了相应的权值。而每个页面将所有指向本页面的入链所传入的权值求和，即可得到新的PageRank得分。当每个页面都获得了更新后的PageRank值，就完成了一轮PageRank计算。 

 

3.2 基本思想：

       如果网页T存在一个指向网页A的连接，则表明T的所有者认为A比较重要，从而把T的一部分重要性得分赋予A。这个重要性得分值为：PR（T）/L(T)

　    其中PR（T）为T的PageRank值，L(T)为T的出链数

        则A的PageRank值为一系列类似于T的页面重要性得分值的累加。

        即一个页面的得票数由所有链向它的页面的重要性来决定，到一个页面的超链接相当于对该页投一票。一个页面的PageRank是由所有链向它的页面（链入页面）的重要性经过递归算法得到的。一个有较多链入的页面会有较高的等级，相反如果一个页面没有任何链入页面，那么它没有等级。

3.3 PageRank简单计算：

       假设一个由只有4个页面组成的集合：A，B，C和D。如果所有页面都链向A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的和。

      

       继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。

      

      换句话说，根据链出总数平分一个页面的PR值。

      

例子：

        如图1 所示的例子来说明PageRank的具体计算过程。  

                           

       

3.4  修正PageRank计算公式：

         由于存在一些出链为0，也就是那些不链接任何其他网页的网， 也称为孤立网页，使得很多网页能被访问到。因此需要对 PageRank公式进行修正，即在简单公式的基础上增加了阻尼系数（damping factor）q， q一般取值q=0.85。

      其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。 1- q= 0.15就是用户停止点击，随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率。

      最后，即所有这些被换算为一个百分比再乘上一个系数q。由于下面的算法，没有页面的PageRank会是0。所以，Google通过数学系统给了每个页面一个最小值。

     

     这个公式就是.S Brin 和 L. Page 在《The Anatomy of a Large- scale Hypertextual Web Search Engine Computer Networks and ISDN Systems 》定义的公式。

     所以一个页面的PageRank是由其他页面的PageRank计算得到。Google不断的重复计算每个页面的PageRank。如果给每个页面一个随机PageRank值（非0），那么经过不断的重复计算，这些页面的PR值会趋向于正常和稳定。这就是搜索引擎使用它的原因。

 

4 PageRank 其中的特征值和特征向量(eigenvector和eigenvalue)

4. PageRank幂法计算(线性代数应用)

4.1 完整公式：

关于这节内容，可以查阅：谷歌背后的数学

首先求完整的公式：

Arvind Arasu 在《Junghoo Cho Hector Garcia - Molina, Andreas Paepcke, Sriram Raghavan. Searching the Web》 更加准确的表达为：

 

是被研究的页面，是链入页面的数量，是链出页面的数量，而N是所有页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为：

 

R是如下等式的一个解：

如果网页i有指向网页j的一个链接，则

否则＝0。

4.2 使用幂法求PageRank

      那我们PageRank 公式可以转换为求解的值，

      其中矩阵为 A = q  × P + ( 1 一 q) *  /N 。 P 为概率转移矩阵，为 n  维的全 1 行. 则 =

     

     幂法计算过程如下：
      X  设任意一个初始向量, 即设置初始每个网页的 PageRank值均。一般为1.

     R = AX;

     while  (1 )(

            if ( l X - R I  <  ) { //如果最后两次的结果近似或者相同，返回R

                  return R;

           }    else   {

                X =R;

               R = AX;

         }

    }

4.3 求解步骤：

一、 P概率转移矩阵的计算过程:

        先建立一个网页间的链接关系的模型,即我们需要合适的数据结构表示页面间的连接关系。

      1) 首先我们使用图的形式来表述网页之间关系：

       现在假设只有四张网页集合：A、B、C，其抽象结构如下图1：

       

                                     图1 网页间的链接关系

      显然这个图是强连通的（从任一节点出发都可以到达另外任何一个节点）。

      2）我们用矩阵表示连通图：

       用邻接矩阵 P表示这个图中顶点关系 ，如果顶（页面）i向顶点（页面）j有链接情况 ，则pij   =   1 ，否则pij   =   0 。如图2所示。如果网页文件总数为N ， 那么这个网页链接矩阵就是一个N x N  的矩 阵 。 

      3）网页链接概率矩阵

       然后将每一行除以该行非零数字之和，即（每行非0数之和就是链接网个数）则得到新矩阵P’，如图3所示。 这个矩阵记录了 每个网页跳转到其他网页的概率，即其中i行j列的值表示用户从页面i 转到页面j的概率。图1 中A页面链向B、C，所以一个用户从A跳转到B、C的概率各为1/2。

      4）概率转移矩阵P

       采用P’ 的转置矩 阵进行计算， 也就是上面提到的概率转移矩阵P 。  如图4所示：

     

           

         图2  网页链接矩阵：                                      图3  网页链接概率矩阵：  

 

 

                         图4  P’ 的转置矩 阵

 

二、 A矩阵计算过程。

      1）P概率转移矩阵  :

      

      2）/N 为：

    

      3）A矩阵为：q  × P + ( 1 一 q) *  /N = 0.85  × P + 0.15  * /N

    

      初始每个网页的 PageRank值均为1 ， 即X~t = ( 1 ， 1 ， 1 ) 。 

三、 循环迭代计算PageRank的过程

       第一步：

       

          因为X 与R的差别较大。 继续迭代。

          第二步：

          

       继续迭代这个过程...

      直到最后两次的结果近似或者相同，即R最终收敛，R 约等于X，此时计算停止。最终的R 就是各个页面的 PageRank 值。

用幂法计算PageRank 值总是收敛的，即计算的次数是有限的。

 

      Larry Page和Sergey Brin 两人从理论上证明了不论初始值如何选取，这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们的真实值。

      由于互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。Larry Page和Sergey Brin两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量。