zoj 3556 How Many Sets I 解题报告 <容斥原理>

链接:http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3556

　　容斥原理：个数为n的集合子集个数为2^n。

 从子集中选k个的有序组合个数（子集可重复被选中）有 (2^n)^k=2^(n*k);

  故总数为S=2^(n*k);

  设S(x)为k个集合的有序组合的个数，这些集合都包含至少一个x。

 S(x1&x2)为k个集合的有序组合的个数，这些集合都包含至少一个x1和x2

  S(x1&x2&x3...xk)为k个集合的有序组合的个数，这些集合都包含至少一个x1,x2...xk。

 而  S(x)=(2^(n-1))^k =2^((n-1)*k);

 S(x1&x2)=(2^(n-2))^k=2^((n-2)*k);

 S(x1&x2&...&xi)=(2^(n-i))^k=2^((n-i)*k);

 由容斥原理知，我们要得到的就是

 S-(n,1)*S(x) + (n,2)*(S(x1&x2)-(n,3)*(S(x1&x2&x3)+....(-1)^i*(n,i)*S(x1&x2&...xi)...(-1)^n*(n,n)*S(x1&x2...&xn);

化简得ans=(2^K-1)^N;

 

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <math.h>
 3 typedef long long ll;
 4 const ll P=1000000007;
 5 ll  ksm( ll a, ll b )
 6 {
 7     ll t=1;
 8     if( b==1 )
 9         return a;
10     if( b==2 )
11         return (a*a)%P;
12     while( b>0 )
13     {
14         if( b&1 )
15         {
16             t*=a, t%=P;
17             b--;
18         }
19         else
20         {
21             a*=a;
22             a%=P;
23             b/=2;    
24         }    
25     }
26     return t;    
27 }
28 int main( )
29 {
30     ll  N, K;
31     while( scanf( "%lld%lld", &N, &K ) != EOF )
32     {
33         ll m=ksm( 2, K );
34         m--;
35         ll ans=ksm( m, N );
36         printf( "%lld\n", ans );
37     }
38     return 0;    
39 }