高等数学复习

函数与极限
    映射
        y=f(x),f:X->Y,x是y的原像，y是x的像
        满射
            Y中任一元素y都是X中某元素的像
        单射
            对于X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f(x1)≠f(x2)
        双射
            映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（双射）
    极限
        函数的极限
            任意ε>0，存在正数X，使得|x|>X时就有|f(x)-A|＜ε
        数列的极限
            任意ε>0，存在正整数N，使得n>N时就有|xn-A|＜ε
    极限存在准则
        夹逼准则
        单调有界数列必收敛定理
    无穷小
        在某一极限过程中以零为极限的变量
        如果f(x)的极限是A，那么f(x)可以表示成A+无穷小
        无穷小阶：同阶无穷小（商不为0和∞）、等价无穷小（商为1）、高阶无穷小（商为0）
    洛必达法则
        分子分母极限都是0，都在空心邻域可导，导数比值的极限是有限数或无穷
    连续性
        y=f(x)在点x=x0的某邻域内有定义，则称f(x)在点x=x0处连续
        三个条件：1.在该点有定义；2.在该点有极限；3.这个极限的值等于该点的函数值
    间断点
        第一类
            可去、跳跃
        第二类
            无穷
                左右极限至少有一个为∞
    有界闭区间上连续函数的性质
        有界性
            函数在这个闭区间有界
        最大值最小值定理
            在这个闭区间存在最大值和最小值
        介值定理（中间值定理）
            介于f(a)和f(b)之间的任何数，必存在f(c)等于这个数
        零点存在性定理
            f(a)和f(b)异号，那么存在c点使f(c)=0

一元函数导数与微分
    可导的充要条件
        左右导数均存在且相等
    导数的几何意义
        切线的斜率
    微分的几何意义
        曲线切线上点的纵坐标的相应增量
    求导法则
        和差积商
        反函数
        复合函数
            链式法则

一元函数积分
    原函数
        F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
    定积分几何意义
        曲线f(x)、x轴、x=a、x=b之间各部分面积的代数和，x轴上方面积取＋，下方面积取-
    可积的充分条件
        满足其一即可：1.f(x)在[a,b]上连续；2.f(x)在[a,b]有界且只有有限个间断点；3.f(x)在[a,b]上单调
    定积分基本性质
        线性、对区间的可加性质、比较定理、估值定理、积分中值定理
    牛顿莱布尼兹公式
        两个条件：1.f(x)在[a,b]上连续；2.F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数
        f(x)在(a,b)上的积分=F(b)-F(a)
    求积分方法
        分项积分法、分段积分法、换元积分法（凑微分法、变量代换）、分部积分法
    反常积分(广义积分)
        定义：上界或下界为无穷
        瑕点：f(x)在点x=x0的任一邻域内都无界
        瑕积分：无界函数的反常积分
    曲率
        K=|dα/ds|

微分中值定理
    极值
        f(x)<=f(x0)   注意是≤!
    费马定理
        若函数在x0这一点可导且取得极值，那么这一点的导数为0
        几何意义：极值点的切线一定与x轴平行，这一点也叫驻点
    罗尔定理
        闭区间连续开区间可导，f(a)=f(b)，那么a和b之间存在一点使其导数为0
        几何意义：A和B之间每一点都有不垂直于x轴的切线，A和B的纵坐标相等，那么A，B之间至少存在一点使曲线在P点处的切线平行于x轴
    拉格朗日中值定理
        闭区间连续开区间可导，a和b之间存在一点使f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
        几何意义：A和B之间每一点都有不垂直于x轴的切线，那么曲线在A和B之间至少存在一点P使得P处的切线与割线AB平行
    柯西中值定理
        f(x)和g(x)在闭区间连续开区间可导，g'(x)≠0，那么在a和b之间存在一点c使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)
    凹凸性
        定义
            闭区间连续开区间可导，恒有f(x)+f'(x0)(x-x0)>(<)f(x)，则f(x)在[a,b]上是凸（凹）的
        几何意义
            任意点处的切线总在该曲线的上方（下方），则该曲线是凸（凹）的
        充要判别定理
            凸（凹）：f'(x)在(a,b)是单调减(增)函数
        几何意义
            凸（凹）：f(x)在(a,b)的切线斜率是单调减少（增加）的
        凹凸性区间的求法
            f''(x)=0的根及f''(x)不存在的f(x)的连续点
    拐点
        定义
            左右侧凹凸性正好相反
        必要条件
            f''(x0)=0或f''(x0)不存在
    渐进线
        垂直
            极限是无穷大
        水平
            x趋近于正无穷时，f(x)趋近于一个常数
        倾斜
            x趋近于正无穷时，f(x)/x趋近于一个常数

泰勒公式
    如果是在x0这一点泰勒展开，那么f(x)等于f(x)在x0这一点的i阶导乘以(x-x0)的i次方，除以i的阶乘的累加和，最后加上拉格朗日余项或皮亚诺余项
    如果在0处展开，那么这个泰勒公式也叫麦克劳林公式
    拉格朗日余项
        x和x0之间存在一点c，那么余项是f(x)在c这一点的n+1阶导，乘以(x-x0)的n+1次方，除以(n+1)的阶乘
    皮亚诺余项
        (x-x0)n次方的无穷小量

常微分方程

向量代数和空间解析几何

多元函数微分
    可微与可导
        一元函数中可导与可微等价
        多元函数中，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件
    链锁法则
        z=f(u,v,w)，z对x的偏导等于f对u的偏导乘以u对x的偏导
    驻点
        f对x的偏导为0，f为y的偏导为0
    方向导数
        若函数在某点可微，那么方向导数指一个函数沿指定方向的变化率
    梯度
        函数在该点的方向导数最大的方向

多元函数积分
    曲线积分
        第一类（对弧长）
        第二类（对坐标）
    曲面积分
        第一类（对面积）
        第二类（对坐标）
    空间图形的体积
        积分区域dxdy为底面积，高为函数
        积分区域为dxdy为体积
    格林公式
        建立了平面上曲线积分与二重积分的联系
    高斯公式
        建立了曲面积分与三重积分之间的联系
    斯托克斯公式
        建立了空间曲线积分与曲面积分之间的关系
    通量与散度
        利用高斯公式
    环流量与旋度
        利用斯托克斯公式

无穷级数
    常数项级数
        几个重要级数
            几何级数
                q的n次方，n从0开始累加
                |q|<1时收敛，|q|>=1时发散
            p级数
                n的p次方分之一，n从1开始累加
                p>1时收敛，p<=1时发散
        敛散性判断
            正项级数
                比较判别法
                与几何级数比较
                    比值判别法（达朗贝尔判别法）
                    根值判别法
                与p级数比较
            交错级数
                莱布尼兹判别法
            任意项级数
                绝对收敛
                    绝对值的级数收敛
                条件收敛
                    级数收敛，绝对值的级数发散
    幂级数
        幂级数求和与求函数的幂级数展开式的方法
            直接法
                根据泰勒系数求
            间接法
                变量替换、四则运算、逐项求导、逐项积分、待定系数
    傅里叶级数
        收敛性——迪利克雷条件
            连续，或只有有限个间断点，且都是第一类间断点
            只有有限个极值点