解锁复杂问题的秘密武器：动态规划算法

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种常用的算法思想，通常用于解决优化问题。这种算法思想在许多领域中都有重要的应用，例如计算机视觉、自然语言处理、生物信息学、经济学等领域。本文将介绍动态规划的基本概念、经典问题和算法实现方式。

目录

一、基本概念

定义状态

定义状态转移方程式

确定边界条件

按顺序求解子问题

二、经典问题

最长递增子序列（LIS）

（1）定义状态

（2）定义状态转移方程式

（3）确定边界条件

（4）按顺序求解子问题

0/1 背包问题

（1）定义状态

（2）定义状态转移方程式

（3）确定边界条件

（4）按顺序求解子问题

三、算法实现方式

自顶向下的备忘录法

自底向上的迭代法

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一、基本概念

动态规划的核心思想是将大问题分解成多个小问题，通过保留每个子问题的解，从而避免重复计算，最终得到大问题的解。这种思想非常适合用于解决那些可以分解成多个互相独立的子问题的问题。动态规划的具体实现方式通常有以下几个步骤：

• 定义状态

将原问题分解成多个子问题后，需要定义状态来描述每个子问题的局面。状态通常需要满足以下两个条件：

（1）必须能够完整地表示子问题的每个局面。

（2）必须能够方便地根据已求解的子问题的答案推导出当前子问题的答案。

• 定义状态转移方程式

状态转移方程式是指根据已求解的子问题的答案，推导出当前子问题的答案的方程式。通常情况下，状态转移方程式的设计都需要分析问题的规律，通过数学推导来得到。

• 确定边界条件

边界条件指的是最小的子问题的答案，通常情况下需要手动确定这些条件。

• 按顺序求解子问题

动态规划算法需要按照子问题的规模从小到大求解，直到求出最终问题的答案。在求解子问题的过程中，需要尽可能地避免重复计算，通常通过保存已经计算过的子问题的答案来实现。

二、经典问题

• 最长递增子序列（LIS）

最长递增子序列是指给定一个序列，找出其中最长的一个子序列，使得其中的所有元素的值是递增的。这个问题可以用动态规划算法求解，具体实现方式如下：

（1）定义状态

设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

（2）定义状态转移方程式

对于第 i 个元素，它前面的所有元素中，如果有一个元素 j 满足 a[j] < a[i]，那么 dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中 a 表示原序列。

（3）确定边界条件

显然，当序列只有一个元素时，最长递增子序列的长度为 1，即 dp[1] = 1。

（4）按顺序求解子问题

从小到大求解 dp 数组，最终的解为 dp 中的最大值。

• 0/1 背包问题

0/1 背包问题是指有一个背包，可以装下一定重量的物品，现在有一些物品，每个物品既有自己的价值，又有自己的重量，要求在不超过背包容量的前提下，选出一些物品使得它们的总价值最大。这个问题可以用动态规划算法求解，具体实现方式如下：

（1）定义状态

设 dp[i][j] 表示前 i 个物品中，选出总重量不超过 j 的物品的最大价值。

（2）定义状态转移方程式

对于第 i 个物品，如果不选，那么 dp[i][j] = dp[i - 1][j]；如果选，那么 dp[i][j] = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]，其中 w 和 v 分别表示物品的重量和价值。

（3）确定边界条件

显然，当没有物品或者背包容量为 0 时，最大价值为 0，即 dp[0][j] = 0，dp[i][0] = 0。

（4）按顺序求解子问题

从小到大求解 dp 数组，最终的解为 dp[n][m]，其中 n 表示物品的数量，m 表示背包的容量。

三、算法实现方式

动态规划算法有两种常见的实现方式，分别是自顶向下的备忘录法和自底向上的迭代法。

• 自顶向下的备忘录法

自顶向下的备忘录法通常是基于递归的，通过保存已经计算过的子问题的答案来避免重复计算。具体实现方式如下：

def dp(i):
    if i == 0:
        return 0 
    if memo[i] != -1:
        return memo[i] # 如果重复计算，直接返回答案
    memo[i] = max(dp(i - 1), a[i] + dp(i - 2))
    return memo[i] 

这个实现方式的缺点在于需要使用递归来实现，可能会导致栈溢出等问题。为了避免这些问题，可以使用尾递归、循环等方式来实现。

• 自底向上的迭代法

自底向上的迭代法通常是基于循环的，通过按顺序求解子问题来得到最终的解。具体实现方式如下：

def dp(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1 # 边界条件
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = max(dp[j] + 1 for j in range(1, i) if a[j] < a[i])
    return max(dp)

这个实现方式的优点在于不需要使用递归，因此可以避免栈溢出等问题。