01 通过彩票赚钱的赢家
2005年7月12日，美国东北部马萨诸塞州剑桥市（麻省理工和哈佛大学所在地）的晨星超市发生了一件不同寻常的事情。
一名大学生走进超市，要求购买本期发行的Cash WinFall彩票。他拿出1400张手动选好的号码条，购买了总价2800美元的彩票（单注2美元）。
类似的事情也发生在同州的波士顿，几个人从商场买走了数以万计的Cash WinFall。
到底怎么一回事？
原来，这个Cash WinFall彩票由于设计上的失误，成为一笔稳赚不赔的买卖，几个购买大额彩票的玩家大赚了一笔。
这些人是哈佛大学的大四学生詹姆斯哈维、密歇根州老玩家塞尔比和美国东北大学的研究员张英博士（华裔）。
当然，他们不是历史上通过彩票赚钱的唯一赢家。
一般而言，彩票是一种买的多赔得多的游戏，但历史上确实发生过几次因为彩票设计的失误，使得购买彩票成为赚钱的生意，我们很熟悉的文学家伏尔泰就是通过彩票起家的。
18世纪初，法国政府试图销售彩票募集资金，一等奖奖金是50万里弗（古代法国货币单位），足够人逍遥一生。但由于彩票的设计者——财政部副部长米歇尔•福茨——计算失误，导致彩票奖金远超彩票销售额。
伏尔泰的朋友数学家马利•拉孔达明马上发现了这个秘密，他召集包括伏尔泰在内的几个人，大量购买彩票，疯狂兑奖。虽然法国政府及时发现了这个失误，但伏尔泰和拉孔达明早已赚到足够安享余生的钱。
很多人以为伏尔泰是靠写作随笔和短剧维生的，其实那个时候跟现在一样，靠写作不可能发大财，他能发财，靠的是彩票。
相比伏尔泰，Cash WinFall彩票的设计失误尤其经典，里面有很多有趣的数学知识。
要想弄清楚哈维、塞尔比和张英是怎么通过彩票赚钱的，我们先得说明为什么一般彩票都是赔钱货。
02 数学解释为什么彩票买的越多赔的越多：期望
彩票是用来募集资金的，通过设定一个或几个几率很小但奖金很高的奖项，刺激人们大量购买。
很多政府都使用彩票募集过资金，连美国著名学府哈佛大学，刚成立之时，也曾靠彩票募集资金。1794和1810年，他们两次发行彩票，用募集资金盖起了两栋大楼。至今这两栋大楼还在使用，现在是大一的新生宿舍。
从发行目的来说，彩票就不可能让玩家赚钱。而在数学上，“期望”这个概念可以很容易说明购买彩票时稳赔不赚。
期望，是概率论和统计学中的一个定义，指一次事件中每个可能的结果乘以其概率的总和。
举个例子，某商家举办抽奖活动，共售出10000张彩票，其中只有1张大奖，奖金6000元，其他都是空的。那么单张彩票的期望就是：
9999/10000x0+1/10000x6000=0.6元。
这个结果代表如果10000张彩票都卖光，平均每张彩票的价值。这意味着如果单张彩票价格高于0.6元，那么玩家就亏钱；如果低于0.6元，商家就亏钱。
我们可以通过数学期望算一下现有彩票的价值。以中国体育彩票大乐透双色球为例， 它的玩法是这样的：
先从装有35个小球的前区摇奖机中摇出5个中奖号码，再从装有12个小球的后区摇奖机中摇出2个中奖号码，由此组成“5+2”的中奖号码。如果彩票号码跟开奖的号码均一致，则获一等奖，选中的数字越少，对应的奖项越低。
大乐透双色球总共设置九等奖项，分别计算每一等级的中奖概率。
首先根据投注规则，该彩票的组合方式共有X=C35(5)xC12(2)= 21425712种。C35(5)代表从35个数字中选择5个的组合数，C12(2)为12个数字中选择2个的组合数。根据中奖规则：
① 一等奖
前区5个全中，后区2个全中，奖金500万-1000万不等。
概率P1=C5(5)xC2(2)÷X=1/21425712
② 二等奖
前区5个全中，后区中1个，奖金10-30万元不等。
概率P2=C5(5)xC2(1)xC10(1)÷X=20/21425712
③ 三等奖
前区5个全中，后区中0个，奖金10000元。
概率P3=C5(5)xC10(2)÷X=45/21425712
④ 四等奖
前区中4个，后区2个全中，奖金3000元。
概率：P4=C5(4)xC30(1)xC2(2)÷X=150/21425712
⑤ 五等奖
前区4个，后区1个，奖金300元
概率：P5=C5(4)xC30(1)xC2(1)xC10(1)÷X=3000/21425712
⑥ 六等奖
前区中3个，后区中2个，奖金200元
概率：P6=C5(3)xC30(2)xC2(2)=4350/21425712
⑦ 七等奖
前区中4个，后区中0个，奖金100元
概率： P7=C5(4)xC30(1)xC10(2)=6750/21425712
⑧ 八等奖
前区2个，后区2个，或前区3个后区1个，奖金15元。
概率P8=[C5(2)xC30(3)xC2(2)+C5(3)xC30(2)xC2(1)xC10(1)]÷X=127600/21425712
⑨ 九等奖
前区1个后区2个，或前区3个后区0个，或前区2个后区1个，或前区0个后区2个，奖金5元。
P9=[C5(1)xC30(4)xC2(2)+C5(3)xC30(2)xC10(2)+C5(2)xC30(3)xC2(1)xC10(1)+C30(5)xC2(2)]÷X=1287281/21425712
综合以上九种情况，把每个等级奖金乘以对应概率，再相加就可以得到一注彩票的期望。一、二等奖奖金是根据奖池累计金额和中奖注数浮动计算的，一等奖一般在5001000万之间，二等奖一般在530万之间。
假设某期开奖金额一等奖为1000万，二等奖20万，则一注该彩票的期望收益为E=10000000xP1+200000xP2+10000xP3+……+15xP8+5xP9≈1.02元。
也就是说，大乐透一注彩票的“价值”为1.02元，当你花2块钱买一注彩票时，注定亏掉0.98元。
03 Cash WinFall彩票的设计漏洞
回到让那几个美国人赚大钱的马萨诸塞州Cash WinFall彩票，看看到底是什么样的设计漏洞使这个彩票成为赚钱游戏。
一般的WinFall彩票玩法是这样的：从46个数字中选择6个，全中为一等奖，下设二三四五等奖，每注2美元。下表列出每个奖项的中奖概率和奖金：
一等奖 中6个号 1/9300000 累积奖金，大于50万
二等奖 6中5 1/39000 4000美元
三等奖 6中4 1/800 150美元
四等奖 6中3 1/47 5美元
五等奖 6中2 1/6.8 2美元
需要说明的是，一等奖的奖金不是固定的，是累积的，起始为50万美元，如果本期没有人中一等奖，那么一等奖奖金将累积到下一期累积为一等奖金。
假设累积奖金100万美元，那么每注彩票的期望是：
1000000/9300000+4000/39000+150/800+5/47+2/6.8=0.798美元，相比2美元的售价，这个期望价值实在太低，民众购买意愿不强，销售情况很不好
为了刺激销售，马萨诸塞州的彩票工作人员改变了玩法，规定：如果某一期累积奖金额超过200万美元，本期开奖后又没有人中一等奖，那么这期的一等奖奖金不会累积到下一期，而是向下分配到二、三、四等奖；累计奖金则会重置，下一期开奖时降为50万美金。
工作人员的想法是好的，因为在这种模式下，即使玩家没有中一等奖，也有可能赢得大笔奖金。事实上，这个想法好的过了头，成功使Cash WinFall彩票成为一笔赚钱买卖。
在2005年7月2号那期，因为连续几个月没有人中过一等奖，一等奖的累积奖金已经接近300万美元，按照规定，如果本期没有人中一等奖，那么将有250万美元分配到二三四等奖。
看一下这期的开奖情况，本期总共卖出47万注彩票，没有人中一等奖，大约产生了12注二等奖，600注三等奖，10000注四等奖，因为累积奖金向下分配的缘故，对应奖金分别由4000、150和5美元上涨到50000、2385和60美元，因此，只考虑二三四等奖，当期每张彩票的期望为：
50000/39000+2385/800+60/47=5.53美元，远超2美元的售价。
投入2美元获得5.53美元，这样的赚钱机会简直白给。而且，这不是一等奖1/9300000的极小概率，而是较大概率就能得到的二三四等奖。
极具诱惑力。
风险也不是没有，如果某个人成功买中6个数字，那么他将掏空奖池，二三四等奖的奖金数又重新回到4000、150和5美元。
但是一等奖的几率很小很小，所以这笔买卖很划得来。
当然，刚才算出来的期望值5.53美元，不是指单张彩票就值5.53美元，相反，只购买单张彩票仍然有很大几率什么奖都不中。
但如果你买的数量过多，比如一次性买了1000注不同号码，那么赢回票价的几率几乎是100%。
第一个发现这个秘密的是哈佛大学大四学生詹姆斯哈维，他召集了几个同学，讲述完他的发现和策略后，一起凑了2000多美元买了1000多张彩票，不出所料，其中一张中了三等奖，获得2385美元，还有很多彩票中了四等奖，总共赚了4000多美元。从此，哈维成立了一个小团队，每次Cash WinFall彩票累积奖金过多要向下分配时，他们都会筹集资金购买大量彩票赚钱。
还有一个团队是70多岁的密歇根人塞尔比领导的，他拥有数学学士学位，是玩彩票的行家，经常通过计算发现彩票中的漏洞。2005年，当他发现麻省Cash WinFall彩票中的利润空间后，驱车从密歇根来到马萨诸塞。他的团队有32名成员，大多是他的亲人。他们总共购买6万张彩票，获得超过5万美元的收益。
第三个团队由美国东北大学的张英领导，叫做“张博士彩票俱乐部”，他们筹集的资金更加雄厚。后来有一次Cash WinFall彩票向下分配奖金时，这个团队一次性就购买了30万美元的彩票。2006年，张英辞去医学研究员的职位，全身心投入到Cash WinFall彩票的赚钱活动中。
04 累积奖金分配时一定赚钱吗
2005年7月2号那期是累积奖金向下分配的第一期，彩票期望高达5.53美元，也是Cash WinFall历史上最高的一次。
产生这个结果的原因是当期销量只有47万张，而当哈维、塞尔比、张英以及其他人发现这个赚钱的秘密后，每次累积奖金向下分配，都会有很多人购买彩票。因为向下分配的总资金数固定（一般在200万美元左右），因此销量越多，每注彩票的期望反而会降低。
那么销量高于多少时，这个游戏不值得玩，即彩票期望低于2美元呢？
继续用数学估算一下。
首先假定一次累计奖金向下分配的数额大约是200万美元，这是因为超过200万美元时才会触发分配，200万美元算是平均数。
设当次彩票售出了x万注，那么彩票收入为2x万美元。在销售额2x万美元中，政府会直接拿走40%，因此留给玩家的钱是2x乘以0.6，也就是1.2x万美元。
1.2x加上累积奖金分配的200万美元，是本期的总奖金数。如果这个数高于政府的彩票收入2x的话，那么当期玩家就会从政府那里赚到钱，反之，玩家就亏钱。所以如果玩家要赚钱，那么
1.2x+200>2x，求解x<250。
即如果这期彩票销售量少于250万张，这个游戏就值得玩，否则就会亏钱。
当然，玩家赚的钱也不是来自政府，而是上几轮彩票的累积，也就是上几轮彩票手里的钱。
无论怎样，政府总不会赔钱。
05 你会买彩票吗？
本篇文章通过分析彩票收益讲解了数学中的“期望”概念，可以看到彩票是一种明显的博傻行为，谁参加谁赔钱，买的多赔得多，所以一般有初步数学知识的人都不会玩彩票。
不过，彩票买卖仍然火热。
2017年，中国彩票总收入达4266亿元，如果按每张2元计算，总共售出2133亿张，相当于全国人民每人每年购买152张！
何其庞大的市场。
那么，到底是什么人在买彩票呢？这个问题是个社会学问题，但我们仍然可以用数学知识分析，而这牵扯到另一个数学名词：
效用。
这个词的定义很简单，大家很快就能理解。不过这个简单的定义却在经济学上具有重要意义，甚至获得过诺贝尔经济学奖。
下篇文章我将从彩票销售中讲述数学中的“效用”，以及延伸而来的风险和不确定性，并解释某些金融公司是怎么利用"效用"赚大钱的。
继续关注吧。
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